Unklare Fragestellung. Prüfe: "Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen."

Question

Zu prüfen war u.a. folgende These:
"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen."

0,5BE für richtige Bewertung, ob richtig oder falsch und 0,5BE für kurzen Nachweis/Widerlegungsbeispiel.

Da ich mit meinen Mathelehrern bei diser Frage nicht auf einen Nenner kam, würde mich interessieren, wie andere diese Aufgabe lösen würden.
Ich möchte weder meine, noch die offizielle Lösung, hier reinschreiben, um nichts zu verfälschen.

Answer 1

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen."

Ok, die Tücke liegt in der Semantik. Lesen wir (a): "Es kann sein, dass eine ganzrationale Funktion vierten Grades keine Nullstelle besitzt!" oder (b): "Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann auf keinen Fall eine Nullstelle besitzen!"?

In diesem Sinne ist der Titel "Unklare Fragestellung" sicher zutreffend.

Answer 2

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen."

Wörtlich genommen ist die Aussage falsch, weil eine Polynomfunktion 4.Grades stest vier Nullstellen führt.

Wenn man dabei an die komplexen Nullstellen denkt.

Stünde in der Aussage "reelle Nullstellen", dann "kann" das schon vorkommen, dass der Graph der Funktion im reellen Bereich keine Nullstelllen aufweist.

Answer 3

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen." 

Solange man ganzrationale Funktionen als reelle Funktionen definiert hat (Detinitionsbereich: reelle Zahlen), stimmt das.

Bsp: f(x) = x^4 + 1 hat keine reelle Nullstelle. 

Answer 4

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine
Nullstelle besitzen."

Die ganze Diskussion ist schon in Wort-Haarspalterei ausgeartet.

Es gibt zig-Deutingsmöglichkeiten des Satzes.

Hier die wahrscheinlichste Antwort - Gegenbeispiel :

"Diese ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt Nullstellen."

~plot~ x^4 -1 ~plot~

Comments

Nein Georg, es gibt nicht zig Deutungsmöglichkeiten, sondern im Wesentlichen nur zwei und damit eben genau eine zuviel. Und dies war sicher auch der Hintergrund der Frage und dies hat gar nichts mit Haarspalterei zu tun. Die zu prüfende These ist eben schlecht formuliert, was dem, der sie formuliert hat vermutlich nicht auffiel, weil er ja wusste, was er meinte.

---

Meiner Meinung nach gibt es zig Deutungsmöglichkeiten die
ich aber nicht alle aufzählen möchte

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen." 

Dies ist " eine ganzrationale Funktion vierten Grades "
x^4 + 1
die " keine Nullstelle besitzt ".

Also wäre die Aussage

"Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann keine Nullstelle besitzen." 

wahr.

( ich glaube ich habe mich gegenüber meiner ersten Antwort bereits wieder gedreht )

---

Philipp kann kein Auto haben.

Heisst je nach Zusammenhang.

1. Es ist möglich, dass Philipp kein Auto hat.

2. Du weisst, dass Philipp viel zu jung ist, um Auto zu fahren und meinst: Es ist unmöglich, dass Philipp ein Auto hat.

Dann kommt noch die Ungenauigkeit der Aufgabenstellung dazu: Ist eine komplexe Nullstelle eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion?

Answer 5

Da ich die exakte PQRSTUVW-Formel kenne, weiß ich, dass es immer 4 Nullstellen gibt:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

Die einzige Frage lautet, ob das Ergebnis einen komplexen Anteil besitzt und ob 2 Ergebnisse zufällig gleichen Real- und Imaginäranteil besitzen (doppelte Nullstelle bedeutet, dass 2 Faktoren der Produktschreibweise gleich sind).

"...kann keine Nullstelle besitzen..." ist auf jeden Fall FALSCH, da man eine Funktion 4. Grades immer in ein Produkt 2er quadratischer Funktionen umschreiben kann (und diese lassen sich ja per pq-Formel lösen; auch wieder mit der Frage, ob komplexer Anteil).

Hier sollte - wie georgborn richtig zeigte - ein einziges Gegenbeispiel reichen, um diese Aussage zu widerlegen.

Comments

Anders formuliert: "Ja, es gibt bei nur geradzahligen Potenzen von Polynomen spezielle Sonderfälle , bei denen nur komplexe Argumente (x)  die Lösung der Nullstellengleichung  sind. Im Bereich der reellen Zahlen gibt es dann keine Lösung."

Wenn Du genau wissen willst, wann so ein Sonderfall auftritt, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

Unterpunkt: "Fall, dass nur gerade Exponenten" -> biquadratisch -> 2 pq-Formeln ->

if Zahlenwert innerhalb der Wurzel negativ, dann komplexer Anteil ...