Funktionsschar dreiecksfläche

Question

Aufgabe:

Die Tangenten an die Graphen von f-2(x) bzw. f2(x) im Punkt (1/0) bilden mit der Geraden die durch die Hochpunkte der graphen von f-2(x) und f2(x) verläuft ein Dreieck.

Bestimmen sie die Gleichungen der Tangenten und ermitteln sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

fa(x)= (a-ln(x))*ln(x)

Problem/Ansatz:

Das mit den Tangenten Gleichungen habe ich geschafft. Jedoch weiss ich nicht wie ich die Fläche berechnen kann.

Wäre nett wenn mir jemand zeigen könnte wie es geht.

Danke

Answer 1

f_-2(x)=(-2-lnx)·ln(x).   f_-2'(x)=(-2-ln(x))/x  Hochpunkt (1/e|1)

f₂(x)=(-2-lnx)·ln(x).     f₂'(x)=(-2-ln(x))/x  Hochpunkt (e|1)

Jetzt müssen die Tangenten an beide Graphen gesucht und mit y=1 geschnitten werden. Der Abstand dieser Schnittpunkte ist g und die Höhe des Dreiecks ist 1.

Comments

Ist es nicht das Dreieck zwischen den Tangenten

und der Gerade mit y=1 ?

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Ja, hab's korrigiert.

Answer 2

Die Gleichungen der Tangenten sind

t1:  y=2x-2    t2: y=-2x+2

Die Hochpunkte haben beide den y-Wert 1, also die Gerade dadurch   g: y = 1

Das Dreieck dazwischen ist gleichschenklig und hat als

Basis die Strecke zwischen den Schnittpunkten von    g mit t1 bzw, t2

und die Höhe ist 1.

Diese Schnittpunkte bekommst du durch   2x-2 = 1

                                        <=>   2x= 3

                                        <=>  x = 1,5

und entsprechend bei dem anderen x=0,5.

Also ist die Basis 1 und die Fläche

A = 0,5 * g * h = 0,5 * 1 * 1 = 0,5

siehe auch   ~plot~ (2-ln(x))*ln(x);(-2-ln(x))*ln(x);-2x+2;2x-2;1 ~plot~

Comments

Warum hast du 0,5 genommen und nicht 1,5 beim einsetzen für die Fläche?

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Die Grundseite ist die Strecke

ZWISCHEN den Schnittpunkten, also

von 0,5 bis 1,5 und das ist 1.

Die 0,5 ist aus der Formel

A = 0,5*g*h

Ach so, die Höhe ist 1 ( nicht 2 ).

Das korrigiere ich noch.

Answer 3

Hallo

 Wenn du das skizzierst, siehst du dass die Höhe des Dreiecks 1 ist. (Abstand des Punktes (1,0) von der Geraden y=1 die die Hochpunkte verbindet.) der Abstand der Schnittpunkte der Tangenten mit y=1 ist die Grundlinie.

 man sollte so was immer skizzieren, dann ist es einfach.

Gruß lul