Du wirst nicht drum herum kommen, erstmal viel auszuprobieren, welche Strategie zum Ziel führen wird. Es gibt verschiedene Integrationsmethoden (Partiell, Substitution,...) und oftmals kommen diese gemischt vor, d.h., du musst mehrere verwenden. Aber wann man welche nimmt, ist auch vom Kenntnisstand abhängig. Man kann sich furchtbar dämlich anstellen, um das Integral zu finden und später sieht man, dass man statt über ,,New York, Shanghai, ..." auch bereits über ,,Rom" zur Lösung gekommen wäre, wenn du verstehst, was ich meine. Und es gibt auch sehr viele Integrale, die man nicht als fertige Formel hinschreiben kann, sodass man numerische Methoden verwenden muss, um wenigstens eine Näherungslösung zu erhalten:
$$ \int e^{-x^2} dx $$
ist so ein Beispiel.
Zum ersten Integral würde ich partielle Integration empfehlen:
$$ \int u'\cdot v \ dx=u\cdot v- \int u\cdot v' dx $$
ist die Struktur. Was nun u' und v ist, hängt halt davon ab, was man schon kennt, da man u herausfinden muss. Und das was man nicht kennt, setzt man erstmal mit v gleich. Ich setze mal u'=x und v=cos(x) und versuche nun so die partielle Integration durchzuführen:
$$ \int x \cdot \cos(x) \ dx = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \cos(x)-\int \frac{1}{2}\cdot x^2 \cdot (-\sin(x)) \ dx\\=\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot \cos(x)+\frac{1}{2}\cdot \int x^2\cdot \sin(x) \ dx$$
Wie du siehst, wird alles immer schlimmer. Ich könnte jetzt wieder u'=x^2 und v=sin(x) setzen, aber dann fliegt mir das Integral um die Ohren! Deshalb andersherum: u'=cos(x) und v=x. Dann kommt man auf:
$$ \int \cos(x)\cdot x \ dx = \sin(x)\cdot x- \int \sin(x)\cdot 1 \ dx\\=\sin(x)\cdot x- \int \sin(x)\ dx\\=\sin(x)\cdot x-(-\cos(x))+C\\=\sin(x)\cdot x+\cos(x)+C=:F(x)$$
Na das ging doch schon bequemer. Das C ist die Integrationskonstante. Die fällt beim Ableiten wieder weg. Und um zu sehen, ob man richtig liegt, leitet man F einfach mal ab (partiell):
$$ F'(x)=\cos(x)\cdot x + \sin(x)\cdot 1 -\sin(x)=x\cdot \cos(x)$$
Bingo!
