Berechnen Sie h = g o f: R^2 → R^3. Überprüfen Sie die Kettenregel: Dh(x) = Dg(f(x))* Df(x).

Question

Aufgabe:

!

Wir definieren eine Abbildung f: R²  → R² durch f(x) = (x1+3x2  x1x2)

und eine Abbildung g: R²  → R³ durch g(x) = (sinx2 x1x2 x1).

Berechnen Sie h = g o f: R²  → R³   Überprüfen Sie die Kettenregel: Dh(x) = Dg(f(x))*Df(x).

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie man Abbildungen verkettet aber die Matrizendarstellungen irritieren mich leider. Wäre über ein wenig Hilfe sehr dankbar! : )

Answer 1

Ich versuch's mal:

$$f(x,y)=( x+3y , xy)$$

$$g(x,y)=(siny, xy, x)$$

$$g(f(x,y))= (sin(xy) , xy(x+3y),x+3y)$$

$$Dg(x,y)=\begin{pmatrix} ycos(xy) & xcos(xy) \\ y(x+3y)+xy & x(x+3y)+3xy \\ 1 & 3  \end{pmatrix}$$

$$Df(x,y)=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ y & x \end{pmatrix}$$

$$Dg(x,y)=\begin{pmatrix} 0 & cosy \\ y & x \\ 1 & 0  \end{pmatrix}$$

$$Dg(f(x,y))=\begin{pmatrix} 0 & cos(xy) \\ xy & x+3y \\ 1 & 0  \end{pmatrix}$$

$$Dh(x,y)= Dg(f(x,y))* Df(x,y)= \begin{pmatrix} 0 & cos(xy) \\ xy & x+3y \\ 1 & 0  \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ y & x \end{pmatrix}$$