Wahrscheinlichkeit zweistufiges Zufallsexperiment

Question

Aufgabe: Bei einer Sauna gibt es 2000 Jahreskartenbesitzer, 0,1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kartenbesitzer an einem bestimmten Tag die Sauna besucht.

In der Saunaanlage gibt es eine Saftbar, der Besitzer geht davon aus, dass ein Jahreskartenbesitzer mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 etwas für 4€, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 etwas für 12€ und  mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 gar nichts kauft.

Problem/Ansatz:

Wie wahrscheinlich ist es, dass der Saftbarbesitzer an einem bestimmten Tag mindestens 1000€ verdient?

Comments

Wo hast du Probleme? Erwartungswert/Standardabweichung berechnen oder die Wahrscheinlichkeitsrechnung über Normalverteilung?

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Da stand was falsches. 

Wenn die Wahrscheinlichkwit 0,1 beträgt, dann sinds 10% und 10% von 2000 sind 200 und wenn 0,5, also 50% 4€ ausgeben sind es 400€, und 0,3 also 30% 12€ ausgeben sind es 720€, also sind es 1120€ gesamt und daher ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch!

EDIT: Fehler nochmals hervorgeholt, damit sichtbar, worüber diskutiert wird. 

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Du hast die Aufgabe gar nicht verstanden.

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Das stand was falsches

So falsch war das gar nicht und als Anfang durchaus brauchbar.

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Ja aber das Gesamtbild war Dreck, naja antworte hier manchmal ganz spontan XD

Answer 1

Hallo Blubblub, ein Gast, der in die Saunaanlage kommt, gibt mit p=0,5 4 € aus, mit p=0,3 12 € und mit p=0,2 0 €.  Zeichne bitte die Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann helfe ich dir weiter mit dem Erwartungswert.

Comments

0,5*4€*X+0,3*12€*X=5,6€*X

X=Anzahl der Personen die an dem Tag in die Sauna gehen.

Meintest du das so?

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Hallo Blubblub, ja, genau.  Ein Gast gibt am Tag 5,60 € aus.  Jetzt wäre die Frage, wieviele Gäste der Barbesitzer braucht.  Und dann ist die Frage, ob ihr mit der Binomial- oder mit der Normalverteilung weiterrechnen sollt.  Die erste ist exakt, die zweite eine Näherung.

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Diese Rechnung ist bereits früher als falsch bezeichnet und gelöscht worden.

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Hallo hj2166, das ist ja interessant!  Gibt es eine Doublette von der Aufgabe?  Hast du einen Link?  Wie wäre dann der korrekte Ansatz?  Sachen zu löschen statt sie als falsch zu kennzeichnen ist ja eher ungünstig.

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Hast du einen Link?

Es ist ganau diese Aufgabe hier.
Auf die obige Rechnung bekam der Antwortgeber die Rückmeldung "Du hast die Aufgabe nicht verstanden", woraufhin er seine Lösung seinerseits als falsch bezeichnete, später waren diese beiden Beiträge gelöscht.

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Okay, danke für die Info.  Beiträge zu löschen statt kritisch zu kommentieren ist weder fair noch hilfreich für Andere.  Aber da kannst du ja nix dafür.

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Lorenzo Turing hatte die Antwort selbst entfernt. Sie wurde wiederhergestellt und sollte nun in den Kommentaren sichtbar sein.

Jeder kann den Text seiner Antworten im Nachhinein entfernen. Bei Kommentaren geht das leider nicht, da muss man sich an einen Moderator wenden. 

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Hallo Lu, vielen Dank fürs Wiederherstellen der Antwort / des Kommentars.  Supi.  Hallo hj2166, ich kann an meiner Antwort nichts Falsches finden.  Hallo Blubblub, ich bleibe bei meiner Hilfestellung.  Du kannst also meine beiden Fragen von oben gerne beantworten.

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Der Ansatz liefert einen korrekten Wert für den Erwartungswert der Einnahmen.

Das Problem ist jedoch folgendes :

Die Wahrscheinlichkeit für einen Saunabesuch beträgt 0,1. Das bedeutet jedoch nicht, dass von den 2000 Karteninhabern genau 200 erscheinen werden, es können auch mehr oder weniger sein, die zugehörige Verteilung gibt Auskunft über die Wahrscheinlichkeit, dass es z.B. 190 Besucher sind.

Angenommen es wären 190, dann werden von diesen nicht genau 50% 4€ und nicht genau 30% 12€ ausgeben, die Anzahl der Leute, die das tatsächlich tun, unterliegt nämlich ebenfals einer bestimmten Verteilung.

Das Ganze läuft auf eine recht unangenehme Doppelsumme hinaus.

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Hallo hj2166, angenommen, 190 Menschen kommen in die Sauna.  Dann werden diese 190 mal den Erwartungswert von 5,60 € ausgeben.  Der Erwartungswert ist ein mittlerer Wert, es kann auch mehr oder weniger ausgegeben werden.

Hier meine Lösung:  Der Barbesitzer will mindestens 1.000 € Umsatz machen, also braucht er mindestens 179 Gäste.  Die Zahl der Gäste ist binomialverteilt. 

n = 2000, p = 0,1, k = 179
μ = n * p = 200 Gäste, σ = wurzel(n * p * (1-p)) = 13,4
0 bis 178 Gäste:
p(0 bis 178 Gäste) = binomcdf(2000, 0,1, 178) = 5,27 %
p(179 bis 2000 Gäste) = 94,73 %

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 94,73 % kommt der Barbesitzer auf Einnahmen von mindestens 1.000 €.

Ich glaube kaum, dass der Aufgabensteller komplizierter gedacht hat, als ich in meiner Rechnung.

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Ich glaube kaum, dass der Aufgabensteller komplizierter gedacht hat, als ich in meiner Rechnung. 

Das glaube ich auch nicht, denke aber, dass das Geld, das in der Saftbar ausgegeben wird, streng genommen anders in der Rechnung zu berücksichtigen ist als z.B. der Eintrittspreis, den jeder ganz genau in gleicher Höhe zahlt.

Warum kann von einem mittleren einheitlichen Getränke-Preis von 5,60€ aber verteilter Besucheranzahl ausgegangen werden aber nicht umgekehrt von einer festen mittleren Besucherzahl von 200 aber verteilter Geldausgabe im Saftladen ?

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Hallo hj2166, ah, sehr gut formuliert.  Jetzt verstehe ich deinen Gedankengang.  Ich habe Maximum Likelihood gemacht:  Die Aufgabe so gelöst, wie es der Aufgabensteller vermutlich haben wollte.  :-)   Was deiner Betrachtung nach nicht die perfekte Lösung ist.