Für reelle Zahlen a, b definieren wir die Operationen ∧ und ∨ durch a ∧ b = min {a, b} und a ∨ b = max {a, b} .

Question

Aufgabe:

Für reelle Zahlen a, b definieren wir die Operationen ∧ und ∨ durch

a ∧ b = min {a, b}
a ∨ b = max {a, b} .
(a) Beweisen Sie die Kommutativ- und Assoziativgesetze für ∧ und ∨.
(b) Beweisen Sie zwei Distributivgesetze:
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Answer 1

zu a) Führe eine Fallunterscheidung zwischen a≤b und a>b durch.

zu b) Betrachte die 6 Fälle

a≤b≤c 

a≤c≤b

b≤a≤c

...

Answer 2

kommutativ:

a ∧ b  = b ∧ a

<=>  min{ a,b } = min {b,a }

Das gilt , weil die Mengen { a,b }  und { b, a} gleich sind.

assoziativ:  (a ∧ b) ∧ c  = a ∧ ( b ∧ c )

stimmt auch, denn es ist in beiden Fällen das Ergebnis

= min { a,b,c }.

Distributiv: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∧ (b ∨ c)

= min { a, max{b,c}}

1. Fall:   ( weder b noch c sind kleiner als a)

Dann ist ja max{b,c} das b oder das c, also

min { a, max{b,c}}  = a .

Und es ist sowohl   min{ a,b } als auch  min{ a,c }

gleich a, also auch das Maximum der beiden gleich a

und damit in diesem Fall

a =  min { a, max{b,c}} = max { min{ a,b } , min{ a,c }  }

also a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

2. Fall  etc.....  Musst zeigen, dass es in allen Fällen übereinstimmt.