Beweis: wenn a>1, r,s∈ℚ, r>s>0, dann a^r>a^s>1

Question

Ich habe bereits beweisen, dass diese Ungleichung für r,s aus den natürlichen Zahlen gilt...

Nun für rationale Zahlen:$$(r:=\frac{m}{n})>(\frac{p}{q}:=s) \Leftrightarrow mq>pn$$ mit \(mq,pn\in \mathbb{N}\).

Daraus folgt dann doch, dass \(a^{mq}>a^{pn}>1\)? Aber irgendwie bin ich damit nicht zufrieden, damit ist es doch nicht bewiesen, oder?

Answer 1

Ich finde es so schon recht überzeugend. Musst du vielleicht noch was

ausführen: Wenn r,s ∈ ℚ und positiv sind, dann gibt es m,n,p,q ∈ℕ

mit r=m/n und s=p/q also:    r > s ==>  m/n > p/q

                                              ==>   m*q > p*n   und beide

Produkte sind aus N

und wegen der Gültigkeit des Satzes für nat. Exponenten folgt

                                 a^(mq) > a^(pn)  > 1    #

Nun ist  aber   mit   a > 1 auch  a^(1/(n*q))    > 1 also folgt auch

                                 a^(1/(n*q))  ^(mq) > a^(1/(n*q))  ^(pn)  > 1

<=>                            a^(m/n) >  a^(p/q)  > 1     q.e.d.

Comments

Jo, so habe ich es mir auch gedacht!