Wendetangente bestimmen

Question

Aufgabe: Gegeben ist die zweite Ableitung der Funktion f durch die Gleichung f''(x)= 1/2x-2 und Definitionsbereich Df = R

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion der Funktion f so, dass die Gerade t mit t(x)= -x+16/3 Wendetangente des Graphen von f ist.

Ich würde theoretisch so vorgehen:

1)  Ableitungen:

f(x)= 1/12x^3+-2x^2

f'(x)= 1/4x^2 - 2

f''(x)= 1/2x-2

f''' (x) = 0,5

Wendepunkt ermitteln:

f''(x)= 1/2 x - 2 = 0

1/2x-2= 0 | +2

1/2x= 2 | :1/2

x = 4

f'''(4) = 1/12 * 4^3 - 4^2 =  -32/3

W ( 4|-32/3)

Vokabel: y= m*x+b

Wie muss ich weiterrechnen?

Answer 1

um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen, setzt du x = 4 in die Tangentengleichung ein, denn f(x) ist noch nicht eindeutig definiert, da noch eine Konstante in der Gleichung enthalten sein könnte.

Gruß, Silvia

Comments

Dann komme ich auf 4/3, aber wie muss ich dann weiterrechnen?

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Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung in dem Punkt (4|\( \frac{4}{3} \).

$$f'(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+c\\ f'(4)=-1 \frac{1}{4}\cdot 4^2-2\cdot 4+c=-1$$

Nach c auflösen ergibt c = 3.

Also

$$f'(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+3$$

Jetzt f(x) bilden und prüfen, ob alle Angaben passen. Sonst hier auch noch ein "c" ausrechnen.

Answer 2

f''(x)= 1/2x-2

Dannist f'(x)=1/4x²-2x+c

und f(x) =1/12x³-1x²+cx+d

Wendepunkt (4|f(4))

Wegen t(x)= -x+16/3 Wendetangente

Steigung im Wendepunkt -1

Ab hier vermutlich falsch:

-1=16-8+c Dann ist c=-9

f(x) =1/3x³-1x²-9x+d

Davon die Steigung an der Stelle 4 muss ebenfalls -1 sein.

Sie ist aber -17/2

Answer 3

f '' ( x ) = 1/2 * x - 2
f ´( x ) = 1/4 * x^2  - 2x + c
f ( x ) = 1/12 * x^3 - x^2 + cx + d

Wendestelle
1/2 * x - 2  = 0
x = 4

Wendetangente
t ( x ) = -x + 16/3
Steigung Wendetangente : -1

Steigung f bei x = 4
f ´( 4 ) = 1/4 * 4^2 - 2*4 + c = -1
c = 3

Funktionswert der Wendetangente bei x = 4
t ( x ) = -x + 16/3
t ( 4 ) = -4 + 16/3 = 4/3

f ( 4 ) = t ( 4 )
f ( 4 ) = 1/12 * 4^3 - 4^2 + 3*4 + d = 4/3
16/3 - 16 + 12 + d = 4/3
d = 0

f ( x ) = 1/12 * x^3 - x^2 + 3x