Polynom p(A) = A transponiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Es muss kein Polynom mit p(A)=A^{T} geben. (editiert) 

Hinweis: Betrachten Sie die Eigenvektoren von p(A).

Problem/Ansatz:

Wegen det(A) = det(A^T) gilt auch, dass die charakteristischen Polynome p(A) und p(A^T) gleich und somit auch die Eigenwerte. Die Eigenvektoren sind allerdings verschieden, falls A nicht symmetrisch ist.

Wie kann ich daraus einen Beweis zur oberen Aussage finden?

Comments

Hallo

 kannst du den Satz noch vollständig machen?

"Zeigen Sie: Es muss kein Polynom mit p(A) = A transponiert."

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Oh, tut mir leid, es muss heißen:

Zeigen Sie: Es muss kein Polynom mit p(A) = A transponiert geben.

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Wie könnte denn ein Polynom eine (transponierte) Matrix sein?

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Vielleicht kann man es mithilfe das Satzes von Cayley - Hamilton zeigen. Da gilt ja: p(A)=Nullmatrix.

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Mich irritiert, dass du zuerst

p(A) = A transponiert

hast und dann in der Antwort über

p(A) und p(AT)

sprichst. 

Zudem hier:

Zeigen Sie: Es muss kein Polynom mit p(A) = A transponiert geben.

Das heisst ja, dass es das nicht unbedingt geben muss, es aber geben kann. 

p(A)=Nullmatrix.

 D.h. für A = Nullmatrix, würde es das ja geben.

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So ist die Aufgabe formuliert:

"Zeigen Sie: Es muss kein Polynom mit p(A)=A^T geben."

Wahrscheinlich existiert so ein Polynom, falls A symmetrisch ist, also A=A^T.

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Hallo

 du musst zwischen p(A) und p(λ): aus det(A-λE)=0 unterscheiden.

 wenn du da statt λ A einsetzt hast du ein Polynom in A .

Gruß lul

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Ist es vielleicht so gemeint? Sei \( A \ne 0  \) und \( p_A \) das charakteristische Polynom von \( A \), dann gilt $$ p_A(A) =  0 \ne  A^T $$

Answer 1

Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen in einem Körper K.

Zu zeigen ist: Es existiert im allgemeinen kein Polynom p im Polynomring K[t], s.d. p(A) = A^T.

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Bei den Inversen ist das nämlich der Fall. Ist A invertierbar, dann kann man leicht aus dem Minimalpolynom ein Polynom q mit A^(-1) = q(A) gewinnen.

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Beweis einfach mit einem Gegenbeispiel:

$$ \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Die Matrix ist nilpotent, mit Nilpotenzgrad 2. Wir müssen für p also nur Polynome vom Grad 1 betrachten. Monome höherer Ordnung haben immerhin keinen Einfluss auf den Wert p(A). Jetzt einfach argumentieren warum auch ein Polynom ersten Grades nicht passen kann.

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Vielen Dank.