Extremalproblem Schwierigkeiten

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion die mit der Achse zwischen den Nullstellen x1 und x2 eine fläche einschließt. In dieser Fläche soll ein Dreieck konstruiert werden dessen Grundkante die gesamte Strecke zwischen x1 und x2 ist dh sie ist nicht veränderbar.

Die Spitze des Dreiecks liegt auf der Kurve. Beschreibe ein Verfahren, um den maximalen Umfang dieses Dreiecks zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Wenn ich etwas maximales oder minimales ausrechnen soll, kann ich ja das "Extremalproblem-Verfahren" verwenden. Dh ich habe eine Haupt- und eine Nebenfunktion. Normalerweise hatte ich aber irgendwelche Werte oder Funktionen gegeben.

Im jetzigen Falle habe ich gerade einmal U_max= a + b + c

Angenommen ich habe eine Funktion f(x). Was ich machen müsste wäre die erste Ableitung + deren Nullstellen zu berechnen → um die Extrempunkte herauszufinden.

Ich habe das ganze einfach mal an f(x) = -x²+4 gemacht. Was in diesem Falle meine Nebenbedingung wäre (?)

umgestellt nach x und ziehen der Wurzel komme ich auf x_1/2= +/- 2

In der Aufgabenstellung steht ja nun dass eine Seite der Betrag zwischen x1 und x2 ist. Also wäre dieser 4

Daraus folgt: U_max= a +b +c , wo b=4 und c = 2 ist

--> Umax= a + 6

Davon muss ich nun die Ableitung bilden und komme auf U'max = 1 (ab hier muss etwas falsch sein)

Dies war mein Ansatz der sicherlich eine Fehler enthält. Würde mich über Rückmeldung freuen!

Comments

So ? Umfang rotes Dreieck.

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Wer weiß es ?
ist die Stelle an der die Fläche
A ( x ) = Grundseite * f(x)
A ´( x ) = Grundseite * f´(x) = 0
max
f ´( x ) = 0
Dort ist der Flächeninhalt am größten.
Ist der Umfang des Dreiecks dort auch am
größten ?
Elementargeometrie ?

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Das heißt um meinen Flächeninhalt herauszubekommen mit einer Seite gegeben brauch ich einfach nur diese Seite, c, mal f(x) rechnen?

Das heißt bei f(x) = -x²+4 müsste ich A(x) = 4 * -x²+4 berechnen. Und um das Maximum rauszubekommen müsste ich die erste Ableitung berechnen und diese gleich null setzen?

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Zur Flächenberechnung
Die Grundseite = 4
Eine Flächenberechnung funktioniert
wie oben.
Leider ist die max Stelle für die  Flächen-
berechnung nicht auch die max Stelle für den
Umfang.

In der Aufgabe wird gefordert
Beschreibe ein Verfahren, um den maximalen Umfang dieses Dreiecks zu berechnen.
Das hat der mathecoach bereits vorgeführt.
Ich kann dir das aber auch nocheinmal
erklären.

Das Verfahren ist praktisch nicht nutzbar,
viel zu kompliziert. Selbst mein Mathe-
programm hat sich geweigert.

Ich würde an deiner Stelle nur die Frage
in der Aufgabenstellung beantworten.

Answer 1

Der Umfang des Dreiecks lässt sich bei gegebenem x berechnen mit:

U = (x2 - x1) + √((x - x1)^2 + f(x)^2) + √((x2 - x)^2 + f(x)^2)

Davon ist die Ableitung zu bilden, die Ableitung gleich Null zu setzen und die Gleichung nach x aufzulösen. Das könnte dann die Extremstelle sein. Bei mehreren Extremstellen ist die zu suchen wo wir das globale Maximum des Umfangs haben.

Comments

was sind x2, x1 und x?

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x1 und x2 waren doch laut Aufgabe vorgegeben

In dieser Fläche soll ein Dreieck konstruiert werden dessen Grundkante die gesamte Strecke zwischen x1 und x2 ist dh sie ist nicht veränderbar.

x ist die x-Koordinate des Punktes C. Die Koordinaten des Punktes C sind daher C(x | f(x)).

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Okay dankeschön, woher hast du diese Gleichung? Nach was muss ich da suchen?

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Umfang

U = a + b + c

Die Grundseite berechnet sich Grundsätzlich über die Differenz der x-Koordinaten.

Für die Seiten wendet man den Satz des Pythagoras an. Den solltest du daher auch können. Mehr braucht man nicht.

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U = (x2 - x1) + √((x - x1)^2 + f(x)^2) + √((x2 - x)^2 + f(x)^2)
Soweit waren meine Überlegungen auch gediehen.

Beim Ableiten würde ( x2 - x1) zwar entfallen aber
aber die Ableitung ergibt einen ziemlichen Lindwurm
andem auch mein Matheprogramm scheitert.

Die Idee : Stelle mit max Fläche ist auch Stelle
mit max Umfang scheint nicht zu stimmen.

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Die maximale Fläche hast du ja einfach wenn der Funktionswert ein Maximum annimmt. Das muss aber nicht der Maximale Umfang sein.

Beachte bitte auch die AUFGABENSTELLUNG

Beschreibe ein Verfahren, um den maximalen Umfang dieses Dreiecks zu berechnen.

Du sollst hier nur das Verfahren beschreiben aber nicht ausrechnen!

Grafisch kann man das für deine Funktion recht leicht lösen. Da sollte der Maximale Umfang auch dort sein wo man die maximale Fläche hat. Nämlich bei x = 0.

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Stimmt. Mehr als ein Verfahren zu beschreiben ist
in den ersten beiden Abschnitten der Frage nicht
gefordert.
Der Antwortgeber ging nur weiter darüber hinaus
und stellte ein paar Lösungsmöglichkeiten ein
die mein Interesse geweckt haben.