Aufgabe zu Untervektorräumen

Question

Hallo :)   Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei K ein unendlicher Körper und E ein Vektorraum über K der Dimension n. Sei m eine positive ganze Zahl mit m<n. Weiterhin seien Untervektorräume F₁,...F_t von E gegeben mit dim(F_i)<=m für i=1,...,t.

Zeigen Sie,dass es einen Untervektorraum F von E mit dim(F)=n - m  und F∩F_i={0} für i=1,...,t. gibt.

(Hinweis: Sie können verwenden,dass E nicht die Vereinigung von endlich vielen echten Untervektorräumen ist)

Also Ich denke ich muss zeigen, dass E eine direkte Summe von F und F_i ist. Denn dann würde sich F∩Fi={0} direkt aus der Definition ergeben und für direkte Summen weiß ich auch, dass dim(E)= dim(F) + dim(F_i) ist also ↔ n = dim(F) + m dafür müsste ich nur noch zeigen, dass auch wirklich dim(Fi)=m gilt und nicht kleinergleich.

Nur weiß ich wirklich nicht wie ich zeigen kann,dass E eine direkte Summe von F und Fi ist....und ich verstehe auch nicht wie mir der Hinweis da weiter helfen soll. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Ganz liebe Grüße

Comments

Denn dann würde sich F∩Fi={0} direkt aus der Definition ergeben

Das heißt nicht, dass du zeigen musst, dass E eine direkte Summe von F und F_i ist. Das heißt lediglich, dass es genügt, zu zeigen, dass E eine direkte Summe von F und F_i ist.

Für den Fall K = ℝ, n = 3, m = 2 musst du folgendes zeigen: Ist M eine endliche Menge von Untervektorräumen mit Dimensionen ≤ 2 (also im wesentlichen Geraden und Ebenen durch den Ursprung) dann gibt es eine Gerade F die mit jedem F_i ∈ M nur den Ursprung gemeinsam hat.

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Das heißt nicht, dass du zeigen musst, dass E eine direkte Summe von F und Fi ist. Das heißt lediglich, dass es genügt, zu zeigen, dass E eine direkte Summe von F und Fi ist.

Tut mir leid diese Aussage verstehe ich nicht ganz....was muss ich jetzt tun?