Gewinnoptimierung durch Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Ein Wetterfrosch weiß, dass es am Wochenende mit Wahrscheinlichkeit p regnet.
Vor einer Freundin behauptet sie jedoch, die Regenwahrscheinlichkeit sei q, und schließt
mit ihr die folgende Wette ab: Regnet es tatsachlich, so gewinnt Aminata q Euro, andernfalls 1 - q Euro.

a) Wie sollte der Frosch q (in Abhangigkeit von p) wahlen, um ihren erwarteten Gewinn zu maximieren?

b) Die beiden einigen sich auf ein alternatives Auszahlungsschema: Der Wetterfrosch erhalt q*(c-q) bei Regen bzw. 1-q^2 sonst, wobei c eine Konstante ist. Bestimmen Sie ein c, sodass sich Ehrlichkeit fur den Wetterfrosch auszahlt, d.h. ihr erwarteter Gewinn durchdie Angabe des tatsachlichen Wertes q = p maximiert wird.

Problem/Ansatz:

Irgendwie weiß ich bei der Aufgabe nicht so wirklich, wie ich da ran gehen soll. Für a) hatte ich schon überlegt, dass man den Erwartungswert auf Grundlage einer Reihe bilder und diesen so optimiert, dass q dann entsprechend groß ist

Answer 1

a)
E(q) = q·p + (1 - q)·(1 - p) = 2·p·q - p - q + 1 = (2·p - 1)·q + 1 - p

Ist p > 0.5 wird q = 1 gewählt.
Ist p < 0.5 wird q = 0 gewählt.
Ist p = 0.5 ist die Wahl von q egal.

b)
E(q) = q·(c - q)·p + (1 - q^2)·(1 - p) = c·p·q - p - q^2 + 1
E'(q) = c·p - 2·q = 0 → q = c·p/2 → c = 2