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Abgrenzung/Anwendung Normal-/Standardnormal-/Binomialverteilung
Um die Unterschiede und Anwendungen von Binomial-, Normal- und Standardnormalverteilung zu verstehen, ist es wichtig, ihre grundlegenden Eigenschaften zu kennen.
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist anwendbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Anzahl der Versuche (\(n\)) ist fest.
- Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg oder Misserfolg).
- Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (\(p\)) ist bei jedem Versuch gleich.
- Die Versuche sind unabhängig voneinander.
Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einer bestimmten Anzahl von Versuchen eine bestimmte Anzahl von Malen eintritt.
Wann die Normalverteilung als Annäherung an die Binomialverteilung verwendet wird
a) Die Faustregel für die Anwendung der Normalapproximation der Binomialverteilung ist \(n \cdot p \cdot q > 9\), wobei \(q = 1 - p\). Dies hilft sicherzustellen, dass die Verteilung ausreichend symmetrisch ist.
b) "Großes \(n\)" ist zwar ein relativer Begriff, aber im Allgemeinen wird \(n > 30\) oft als ausreichend groß betrachtet, um die Normalverteilung als gute Annäherung zu nutzen.
c) Ja, die Binomialverteilung ist theoretisch das genauere Maß, weil sie exakt für Szenarien mit einer festen Anzahl von Versuchen und einer festen Wahrscheinlichkeit pro Versuch gilt. Die Normalverteilung wird verwendet, weil sie für große \(n\) einfacher zu handhaben ist und gute Näherungswerte liefert.
Beispielproblem
Das Beispiel illustriert eine typische Situation, in der die Binomialverteilung angewendet wird, aber die Normalverteilung als Approximation genutzt werden könnte, insbesondere wegen des größeren \(n\) (96 in Ihrem Fall).
d) Formeln für die Normalverteilung
Um die Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu approximieren, nutzt man die Parameter der Normalverteilung (\(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\)). Für das Beispiel wäre das:
- \(n = 96\), weil Sie sagen, dass bei 96 Nägeln das Kriterium erfüllt ist.
- \(\mu = n \cdot p = 96 \cdot \frac{5}{6}\).
- \(\sigma = \sqrt{96 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}}\).
e) Stetigkeitskorrektur
Stetigkeitskorrektur wird angewendet, wenn eine diskrete Verteilung (wie die Binomialverteilung) durch eine kontinuierliche (wie die Normalverteilung) approximiert wird. Diese Korrektur wird in der Regel dadurch umgesetzt, dass 0,5 zu oder von dem Grenzwert der diskreten Variable abgezogen bzw. hinzugefügt wird, um die Wahrscheinlichkeiten genauer zu berechnen.
f) Unterschied zwischen der Normal- und der Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung ist eine Familie von Verteilungen, die durch die Parameter \(\mu\) (Erwartungswert) und \(\sigma\) (Standardabweichung) charakterisiert sind. Die Standardnormalverteilung ist eine spezielle Normalverteilung mit einem Erwartungswert (\(\mu\)) von 0 und einer Standardabweichung (\(\sigma\)) von 1. Um von einer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu wechseln, verwendet man die Z-Transformation: \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\).
g) Befehle beim TI Voyage oder TI-89
Für den TI Voyage oder TI-89 gibt es spezielle Befehle für statistische Funktionen. Um die Binomialverteilung zu berechnen, kann man beispielsweise den Befehl
binompdf (für Wahrscheinlichkeitsfunktion) oder
binomcdf (für Verteilungsfunktion) nutzen. Für die Normalverteilung kann man die Befehle
normalpdf,
normalcdf und für Standardnormalverteilung
invNorm verwenden, um Wahrscheinlichkeiten, kumulative Verteilungen oder Quantile zu berechnen.
Für detaillierte Anweisungen sollten Sie das Handbuch Ihres spezifischen Modells konsultieren, da die genauen Befehle und ihre Syntax variieren können.
