Vektorrechnung Orthogonalität

Question

Aufgabe:

Zu dem Vektor a^→=(6,1,1) soll ein λ-faches des Vektors b^→=(3,-1,0) so hinzuaddiert werden, dass die Summe auf dem Vektor

c^→=(-2,3,5) senkrecht steht.

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren berechnet:

(6,1,1)x(3,-1,0)=(1*0-1*(-1)/1*3-6*0/6*(-1)-1*3)=(1,3,-9)

Dann habe ich mit diesem Vektor und jeweils dem Vektor a^→ und dem Vektor b^→ das Skalarprodukt berechnet:

(6,1,1)°(1,3,-9)=6*1+1*3+1*(-9)=0

(3,-1,0)°(1,3,-9)=3*1+(-1)*3+0*(-9)=0

Die Orthogonalität ist somit erfüllt. Ist damit die Aufgabe richtig gelöst oder habe ich etwas vergessen? Danke und Grüße

Answer 1

Die Orthogonalität ist somit erfüllt. Ist damit die Aufgabe richtig gelöst ... ?

Nein, da Du die Orthogonaliät zwischen zwei Vektoren und ihrem Kreuzprodukt gezeigt hast. Danach war aber nicht gefragt.

Die Aufgabenstellung lautete:

Zu dem Vektor \(\vec{a} = (6,1,1)\) soll ein λ-faches des Vektors \(\vec{b}=(3,-1,0)\) so hinzuaddiert werden, dass die Summe auf dem Vektor \(\vec{c}=(-2,3,5)\) senkrecht steht.

Die besagte Summe sei der Vektor \(\vec{s}\). Dann ist $$\vec{s} = \vec{a} + \lambda \vec{b} = \begin{pmatrix} 6\\1 \\1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$$Soll nun \(\vec{s}\) auf \(\vec{c}\) senkrecht stehen, dann muss ihr Skalarprodukt 0 sein. Also:$$\vec{c} \cdot \vec{s} = \vec{c} \cdot (\vec{a} + \lambda \vec{b}) = 0 \\ \implies \lambda = \frac{-\vec{c} \cdot \vec{a}}{\vec{c} \cdot \vec{b}} = \frac{-(-2\cdot 6 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1)}{-2\cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 0} = -\frac{4}{9}$$D.h der Summenvektor \(\vec{s}\) ist:$$\vec{s} =  \begin{pmatrix} 6\\1 \\1 \end{pmatrix} - \frac 49\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14/3\\ 13/9 \\1 \end{pmatrix}$$Folgendes Bild zeigt das noch mal anschaulich

(klick auf das Bild)
Der blaue Vektor ist \(\vec{s}\), der durch die Summe von \(\vec{a}\) (schwarz) und einem Vielfachen von \(\vec{b}\) (grün) erzeugt wird. \(\vec{s}\) steht senkrecht auf \(\vec{c}\) (rot)

Comments

Vielen herzlichen Dank für eine ausführliche Lösung, jetzt habe ich meinen Fehler verstanden!!!

Answer 2

Hallo

 du hast eine völlig sinnlose Aufgabe gelöst. dass  das Kreuzprodukt senkrecht auf den 2 beteiligten Vektoren steht wusstest du schon vorher. (hoffentlich)

Gefragt ist λ  so dass a+λ*b senkrecht auf c^→=(-2,3,5) steht. dazu musst du das Skalarprodukt von a+λ*b mit c bilden, das 0 setzen und daraus λ bestimmen.

Du musst Aufgaben wirklich genauer lesen! Wenigstens, dass du c nicht verwendet hast muss dir doch auffallen?

Gruß lul

Comments

Dann habe ich die Aufgabenstellung überhaupt nicht verstanden. Dass ich den Vektor c bei der Lösung nicht verwendet habe, ist mir sehr wohl aufgefallen...

Solche Foren dienen dazu, um einen zu helfen und nicht einen fertigzumachen, wenn man ohnehin mit der ganzen Problematik Schwierigkeiten hat. Nächstes Mal frage ich einfach, wie ich das sonst bei manchen Aufgaben auch tue: "Wer kann mir beim Lösen dieser Aufgabe helfen", ohne jeglichen "sinnlosen" Lösungsansatz zu machen. Trotzdem vielen Dank für Ihren Lösungsvorschlag! Mit freundlichen Grüßen