Konvergenz mit Majorantenkriterium beweisen

Question

Aufgabe:

ich soll mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen, dass

Summe von k = 1 bis  ∞ 1/k^(3)     konvergiert

Problem/Ansatz:

für k >= 3 gilt 1/k^(3) =< (1/(k^(2) * (k - 1))

1/3^(k) < (1/3^(k - 1))  und

1 = Summe von k = 1 bis ∞ 1/3^(k)  < Summe von k = 0 bis  ∞ 1/3^(n)  = 3

damit habe ich glaube gezeigt, dass die Folge konertiert #

Ich weiß nicht ob das stimmen kann und wenn das Falsch sein sollte wäre ich Dankbar für eine korrektur:)

Answer 1

Hallo

das ist gerade verkehrtrum. Für große k ist 3^k >>> k^3 (Exponentialfunktion vs Potenzfunktion)  und damit 1/3^k <<< 1/k^3 .

Besser: es gilt k^3 > k^2 , also 1/k^3 <1/k^2

für große k. Die Reihe über 1/k^2 konvergiert (das müsstet ihr vorher mal gezeigt haben).

Comments

Hi,

für die Reihe 1/k^(2) habe ich gezeigt, dass die konvergiert undzwar gegen 2.

Nun wende ich das gleiche für 1/k^3 an und da kommt doch dass die Reihe gegen 3 konvertiert oder?

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und wenn für 1/k^2 = 2   rauskommt und für

1/k^3 = 3 rauskommt und die Bedingung lautet

1/k^3 < 1/k^2   und das aber laut meinem ergebnis 3 < 2 dann falsch oder?

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die Summe über 1/k^2 konvergiert nicht gegen 2 und die Summe über 1/k^3 nicht gegen 3, wie kommst die darauf??? Die Summen brauchst du auch nicht zu berechnen. Es geht hier nur um Konvergenz.

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Hi,

ich bin mir nicht sicher aber ich glaube ich habe es dieses mal verstanden:

Summe von k = 1 bis ∞ (1/k^(3))

=> z.z es gilt k^(3) > k^(2) , also 1/k^(3) < ^/k^(2) für groß k

=> erst beweisen, dass die Reihe 1/k^(2) konvergiert

=> für k >= 2 gilt 1/k^(2) =< (1/(k * (k - 1)))

=> wir wissen, dass Summe von k = 2 bis ∞ (1 / (k * (k - 1))) =

Summe von k = 1 bis ∞ (1 / (k * (k + 1))) = 1

=> Majorantenkriterium:

1/2^(k) < (1 / 2^(k - 1)) und 1 = Summe von k = 1 bis ∞ 1/2^(k) <

Summe von k = 0 bis ∞ 1(2^(k) = 2   also kurz aufgeschrieben:

Summe von k = 1 bis ∞ 1/2^(k) < 2 konvegent  #

=> Dann gilt für 1/k^(3)

Summe von k = 1 bis ∞ 1/3^(k) < 3  konergent #

=> damit wurde gezeigt dass die Reihe 1/k^3 konvergiert #

ist das so korrekt?