Injektivität und Surjektivität(Unklarheiten)

Question

Aufgabe:

1) f(x)= x^2 + 1, f:R → R

2) f(x)= x^3+x+1 f:R → R
Problem/Ansatz:

habe hier 2 Beispiel bei denen einiges Unklar ist:

1)

Surjektivität:

Umgeformt würde es so ausssehen: sqrt(y-1). Aber was darf man jetzt für y einsetzen. Ich bin ja im Raum der reellen Zahlen, also darf ich theoretisch alles einsetzen. Aber wenn ich eine Negative Zahl einsetze, dann ist es ja undefiniert. Ist es jetzt deshalb nicht surjektiv oder lasse ich mich umsonst verwirren?

2) Injektivität:

Ich weiß, dass diese Aufgabe injektiv ist aber habe so meine Schwierigkeiten so umzuformen, dass x1=x2 ist.

Answer 1

zu 1) solange du nicht weist, ob eine Funktion bijektiv ist, brauchst du die Umkehrfunktion gar nicht erst berechnen. Besser: erkenne, dass die Gleichung x^2+1=0 keine reelle Lösung besitzt. Damit ist die erste Funktion nicht surjektiv.

zu2)  es ist meist umständlich aus f(x_1)=f(x_2)---> x_1=x_2 zu zeigen.

Leichter ist es zu zeigen, dass f(x) monoton wachsend ist. Damit ist sie auch injektiv.

Comments

Danke ist jetzt klar

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Zu 2) du kannst auch die Definition nehmen:

f(x)=f(y)

x^3+x=y^3+y

x^3-y^3+x-y=0

Auf der linken Seite kann man faktorisieren:

(x-y)(x^2+xy+y^2+1)=0

Eine der Klammern muss also 0 sein.

Die rechte Klammer kann man umformen zu:

1/4 (2x+y)^2 +1/4 (3y^2 +4), sie wird also niemals 0. Damit bleibt nur

(x-y)=0 , x=y

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Aber 2) besitzt doch auch keine reelle Lösung, aber in meinen Unterlagen steht, dass es surjektiv ist. Wieso ist dann 1) dann nicht auch surjektiv?

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Aber 2) besitzt doch auch keine reelle Lösung,

du hast keine Gleichung angegeben, daher weiß ich nicht was du meinst.

Die Gleichung

x^3+x+1=y ist für jedes y in |R lösbar.

Daher ist f surjektiv.

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für 2) sieht es so aus x=sqrt(-1/3). Also x ist Element der komplexen Zahlen. Also keine reelle Lösung. Ist das nicht auch bei 1) der  Fall?

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für 2) sieht es so aus x=sqrt(-1/3)

Du hast immernoch keine Gleichung angegeben, von daher ist das eine leere Angabe mit der ich nix anfangen kann.

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2) f(x)= x3+x+1 f:R → R

Rede von der Gleichung aus meinem Anfangspost. Wieso ist die surjektiv und 1) nicht?

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Die Funktion f(x)= x^3+x+1 ist monoton wachsend, zudem gilt lim x ---> ±∞ f(x)= ±∞ .

Desweiteren ist die Funktion stetig. Daher ist die Gleichung x^3+x+1=y für jedes y∈ℝ lösbar und damit ist f surjektiv.

Bei 1) ging das nicht weil ich oben bereits das Gegenbeispiel y=0 angegeben habe.

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ah jetzt ist klar, hatte was durcheinander gebracht.

Danke