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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir betrachten die Abbildung:$$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\;;\;(x;y)\mapsto x\cdot y$$
1) Surjektivität
Eine Abbildung ist surjekiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Die Zielmenge ist hier \(\mathbb R\). Wir wählen ein beliebiges Element \(a\in\mathbb R\) aus der Zielmenge und stellen fest, dass das Argument \((1;a)\) auf \(a\) abgebildet wird:$$(1;a)\mapsto 1\cdot a=a$$Daher wird jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen.
Die Abbildung ist surjektiv.
2) Injektivität
Eine Abbildung ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen das Element \(2\in\mathbb R\) aus der Zielmenge. Dieses Element wird mehr als 1-mal getroffen, denn:$$(1;2)\mapsto1\cdot2=2\quad\text{und}\quad(2;1)\mapsto2\cdot1=2$$
Die Abbildung ist nicht injektiv.