Wie kann ich folgende Abbildung auf Injektivität und Surjektivität untersuchen?

Question

Aufgabe:

f1 : R2 → R; (x, y) → x · y

Problem/Ansatz: Habe Probleme die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität zu untersuchen.

Answer 1

Die Abbildung ist surjektiv, weil du zu jedem \(z\in \mathbb{R}\) ein Paar \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) angeben kannst, so dass \(x\cdot y=z\) ist.

Die Abbildung ist nicht injektiv , weil du \(x,y,x',y'\in \mathbb{R}\) angeben kannst, so dass \(x\cdot y = 1\) und \(x'\cdot y'=1\) und \(x\neq x'\) ist.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir betrachten die Abbildung:$$f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\;;\;(x;y)\mapsto x\cdot y$$

1) Surjektivität

Eine Abbildung ist surjekiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Die Zielmenge ist hier \(\mathbb R\). Wir wählen ein beliebiges Element \(a\in\mathbb R\) aus der Zielmenge und stellen fest, dass das Argument \((1;a)\) auf \(a\) abgebildet wird:$$(1;a)\mapsto 1\cdot a=a$$Daher wird jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen.

Die Abbildung ist surjektiv.

2) Injektivität

Eine Abbildung ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir wählen das Element \(2\in\mathbb R\) aus der Zielmenge. Dieses Element wird mehr als 1-mal getroffen, denn:$$(1;2)\mapsto1\cdot2=2\quad\text{und}\quad(2;1)\mapsto2\cdot1=2$$

Die Abbildung ist nicht injektiv.