Abbildung auf Injektivität und Surjektivität untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Abbildung

f : ℂ ↦ ℂ mit f(z) := 2 − i(z − 3)
injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründen Sie Ihre Ergebnisse durch einen
Beweis oder ein Gegenbeispiel!

Problem/Ansatz:

injektiv:

z.zg. für ∀ z1, z2 ∈ ℂ : f(z1) = f(z2) ⇒ z1 = z2

2 - i(z1 - 3) = 2 - i(z2 - 3)

beide Seite aufgelöst steht am Ende

z1 = z2

Die Abb. ist somit injektiv.

surjektiv:

∀ y ∈ ℂ : ∃ x ∈ ℂ 

Hierbei tue ich mich etwas schwer einen Beweis zu finden, da man ja eigentlich jedes z einsetzen kann und die Abb. somit surjektiv ist. Ich weiß aber nun nicht, wie man das formal aufschreiben kann.

Answer 1

Etwa so: Sei y ∈ ℂ.

Gibt es ein x ∈ ℂ mit  f(x) = y ? . Dazu muss gelten

        2 - i* (x-3) = y

<==>    - i* (x-3) = y - 2   | *i

<==>    x-3   = (y - 2)*i     | +3

<==>    x = (y - 2)*i  + 3

Da es zu jedem y∈ ℂ den Wert (y - 2)*i + 3 in ℂ gibt

(Abgeschlossenheit) , gibt es also zu jedem y∈ ℂ

ein  x∈ ℂ  mit f(x) = y .

==> f ist surjektiv.