Ich habe eine Frage zur Sinnhaftigkeit von Beweisen der Art, dass eine beliebige Folge gegen einen Wert a konvergiert. Als Beispiel diene der Beweis, dass die Folge an = (n+2)/(n+1) gegen 1 konvergiert (ich überspringe die einzelnen algebraischen Umformungen, da es mir hier nicht um die Korrektheit, sondern um die Sinnhaftigkeit dieser Art von Beweisen prinzipiell geht):
Sei e beliebig für e > 0, N = ((e -1) / e ) + 1 und n beliebig für n >= N, dann gilt
n > (e -1) /e gdw.
|((n+2)/(n-1)) - 1| < e
d.h. |an - 1| < e. Da n beliebig für n >= N, N ∈ ℝ und e beliebig für e > 0, ist 1 Grenzwert von an.
Hier fällt auf, dass ich auch einfach N = (e - 2) / e wählen könnte, um zu "zeigen", dass |an - 2| < e und damit 2 der Grenzwert von an ist. Diese Aussage wäre zwar falsch - ihre Falschheit fällt aber nicht durch die Durchführung des Beweises auf, sondern durch direkte Inspektion der ursprünglich zu zeigenden Aussage: Für alle e > 0 existiert ein N ∈ ℕ so dass für alle n >= N |an - 2| < e (wähle e klein genug, um die Falschheit der Aussage zu sehen). Auf der anderen Seite werde zumindest ich nur durch direkte Inspektion davon überzeugt, dass die Lösung mit dem Grenzwert a=1 nicht falsch ist - und nicht durch aufmerksame Lektüre des Beweises. Wenn ich die Falschheit bzw. Nicht-Falschheit der Aussage aber nur durch direkte Inspektion einsehe, dann könnte ich mir den Beweis auch einfach sparen und einfach nur direkt an der Aussage
Für alle e > 0 existiert ein N ∈ ℕ so dass für alle n >= N |(n+2)/(n+1) - 1| < e
ablesen, ob die Aussage falsch oder wahrscheinlich nicht falsch ist. Wenn das stimmt, kann dann der oben vorgetragene Beweis überhaupt noch als Beweis angesehen werden? Wenn der Sinn eines Beweises darin liegt, den Leser von der Wahrheit einer Aussage zu überzeugen, dann ist dieser Sinn hier meiner Ansicht nach höchstens mit Einschränkungen gegeben. Außerdem sollte ein Beweis nicht nur die Vermutung bestärken, dass eine Aussage nicht falsch ist, sondern sollte seine Wahrheit unter gegebenen Voraussetzungen mit maximaler Evidenz festsetzen. Wenn die gemachten Bemerkungen einleuchtend sind, dann sind derartige Konvergenz-Beweise mit der Epsilon-Definition aber auch nur höchstens mit Einschränkungen als Beweise anzusehen.
Kann mich irgendjemand von der Überzeugungskraft derartiger Beweise überzeugen oder ist vielleicht sonst noch jemand meiner Meinung?
