Zeige, dass die Folge gegen einen gewählten Grenzwert konvergiert

Question

Aufgabe:

Die Folge \((d_n)_{n\in \mathbb{N}}\) ist konvergent. Überlegt euch den Grenzwert und beweist über die Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge gegen euren gewählten Grenzwert konvergiert.

\(d_n:=\frac{3^{-n}+6}{2}\)

Hinweis: Die Definition ist gleichbedeutend mit nachfolgender prädikatenlogischer Aussage, wobei d den Grenzwert widerspiegelt:

\(∃d ∈ℝ\space ∀ε >0 \space ∃n_0 ∈ℕ\space ∀n≥n_0 :\space |d_n-d| < ε\)

Wie mache ich das am besten? Vielen Dank im Voraus :)

Comments

3^(-n) = 1/3^n

-> 1/(2*3^n) +6/2 = 0+ 3 = 3 für n gg. oo

Answer 1

Hallo :-)

Hier nochmal die Definition:

\(∃d ∈ℝ ∀ε >0 ∃n_0 ∈ℕ ∀n≥n_0 : |d_n - d| < ε\)

An erster Stelle steht eine Zahl \(d\in \mathbb{R}\). Die musst du erstmal finden, bzw. durch Vermutungen erraten. Dann musst du sicherstellen können, dass du mithilfe von \(d\) (dein vermuteter Grenzwert) die Differenz \(|d_n-d|\) beliebig klein nachoben abschätzen kannst. Das wird durch \(\forall \varepsilon >0\) gesichert. Und in Abhängigkeit von \(\varepsilon\) sollst ein \(n_0(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) angeben können, sodass die Abschätzung \(|d_n - d| < ε\) für alle \(n\geq n_0(\varepsilon)\) gilt.

Erstmal: Welchen Grenzwert vermutest du?

Comments

Hallo, :)

wenn der Betrag von d_n - d kleiner als Epsilon ist, dann sollte der Grenzwert ja beliebig hoch sein, oder?

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Nein. \(d\) ist ein fester Wert. \(|d_n-d|\) ändert sich also nur in Abhängigkeit von \(n\).

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Bei sehr großen n (sagen wir n=100) konvergiert die Folge gegen 3, richtig? Was sagt das dann über d aus? Wie komme ich dann weiter?^^

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Bei sehr großen n (sagen wir n=100) konvergiert die Folge gegen 3, richtig?

Ich glaube, du solltest dir nochmal die Idee von Konvergenz genau vor Augen führen. ;-)

Du musst wirklich die Idee zur Definition verstanden haben.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Konvergenz_und_Divergenz

Hier wird zunächst intuitiv gesprochen und am Ende wird diese Intuition zu einer kurzen prägnanten Definition verdichtet.

Bei sehr großen n (sagen wir n=100) konvergiert die Folge gegen 3, richtig?

Nein.

Was sagt das dann über d aus?

Nichts, da du nur ein konkretes \(n\) betrachtest. Es gibt aber auch Folgen, die meinetwegen für die ersten 50 Milliarden Folgenglieder einer konkreten Zahl nahe kommen, aber dann doch noch ,,brutal" nachoben abhauen und damit sich im unendlichen Fall, keiner konkreten Zahl annähern.

Rechner liefern nur Vermutungen und damit keine Beweise!!

Hier mal ein böses Beispiel:

\(a_n=\left(\frac{10000-n}{10000}\right)^{12}\)

Bei paar Testwerten wie

\(a_{100}=0.886384...\\a_{1000}=0.282429...\\a_{5000}=0.000244...\\a_{7000}=0.0000005...\)

könnte man meinen, dass \(a_n\) gegen Null konvergiert. Aber

\(a_{15000}=0.000244...\\a_{20000}=1\)

weisen schonmal auf, dass \(a_n\) nicht konvergiert.

Trotzdem kann man Rechner als nützliches Hilfsmittel einsetzen, um experimentell Vermutungen zu untersuchen.

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Werde ich machen, danke für deine Zeit :)

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Gerne. :-) Aber scheue nicht davor, Fragen zu stellen.