Ähnlicher Frage, die schon oft vorhanden ist, teilweise mit anderen Buchstaben:
Titel: Konvergenz des arithmetischen Mittels
Stichworte: folge,konvergenz,arithmetische,mittel
Aufgabe:
Sei \( a_{n} \) eine komplexe Folge. Wir betrachten die Folge ihrer arithmetischen Mittel
$$ x_{n}:=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} $$
(a) Zeigen Sie: Falls \( \left(a_{n}\right) \) eine Nullfolge ist, so ist auch \( \left(x_{n}\right) \) eine Nullfolge.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst \( x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}=\frac{1}{n}\left(a_{N+1}+\cdots+a_{n}\right) \) für \( N \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq N \) Wählen Sie anschließend ein festes \( N \in \mathbb{N}, \) so dass \( \left|x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}\right| \) hinreichend klein wird. Beweisen und nutzen Sie dann \( \left|x_{n}\right| \leq \frac{N}{n}\left|x_{N}\right|+\left|x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}\right| \)
(b) Geben Sie eine divergente Folge \( \left(a_{n}\right) \) für deren arithmetische Mittel gilt
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}=0 $$
Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen muss und aus dem Hinweis werde ich auch nicht besonders schlau.
Und was bedeutet denn überhaupt divergent und konvergent?