Aloha :)
Der Erwartungswert \(\mu_X\) ist ein theoretischer und exakter Wert für eine Zufallsvariable \(X\), der nur berechnet werden kann, wenn alle möglichen Werte der Zufallsvariablen \(X\) und ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sind.
Der arithmetische Mittelwert \(\langle X\rangle\) wird auf Basis einer Stichprobe aus \(N\) Messungen berechnet und kann bei normal-verteilten Zufallsvariablen \(X\) statistisch als Näherungswert für den Erwartungswert \(\mu_X\) verwendet werden (zentraler Grenzwertsatz). Die Abweichung \(\delta_{\langle X\rangle}\) des Mittelwertes \(\langle X\rangle\) vom Erwartungswert \(\mu_X\) ist dabei umso geringer, je mehr Messungen \(N\) in die Berechnung des Mittelwertes \(\langle X\rangle\) eingehen.$$\mu_X\approx\langle X\rangle\quad;\quad\delta_{\langle X\rangle}=\frac{\delta_X}{\sqrt N}\quad;\quad\delta_X=\text{Messfehler der Einzelmessung}$$Die Abweichung des Mittelwertes \(\langle X\rangle\) vom exakten Erwartungswert \(\mu_X\) führt übrigens auch zu den zwei unterschiedlichen Formeln für die Varianz. Im diskreten Fall lauten diese:$$V(X)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^N\left(x_i-\mu_X\right)^2\quad;\quad V(X)=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{k=1}^N\left(x_i-\langle X\rangle\right)^2$$In der zweiten Formel wird der Erwartungswert \(\mu_X\) durch den Mittelwert \(\langle X\rangle\) ersetzt. Die Abweichung des Mittelwertes \(\langle X\rangle\) vom Erwartungswert \(\mu_X\) führt zu einer Ungenauigkeit in der Varianz der Messgröße \(X\), die durch den Faktor \(\frac{1}{N-1}\) anstatt \(\frac{1}{N}\) ausgedrückt wird.
