Beweisen, dass die Folge (6n^2-2n)/(n^2+1) gegen den Genzwert konvergiert

Question

Ich habe den Grenzwert berechnet. Dieser ist 6. Habe angenommen |an-a|< eps.

Habe umgeformt und komme zu |(-2n+6)/(n^2+1)|<eps.>n0

Und jetzt komme ich irgendwie nicht weiter. Kann mir jemand bei den letzten Umformungen helfen?

VIelen lieben Dank im voraus.:)

Answer 1

Ich bekomme

|(-2n-6)/(n²+1)|<eps

<=>  (2n+6)/(n²+1)<eps    #

Und du musst ja nur ein n_o finden, damit  # für  n>n_o   immer erfüllt ist .

Bedenke  (2n+6)/(n²+1) < (2n+6)/(n² +3n)

= 2(n+3)/(n*(n +3)) =  2/n

Wenn also   2/n < eps  ist, dann ist sicherlich auch  (2n+6)/(n²+1)<eps

erfüllt, also reicht es zu wählen  n₀ > 2/eps

Comments

Vielen lieben Dank. Hatte an der einen Stelle einen Vorzeichenfehler.

Wenn ich die Zahlenfolge habe an= 5^n/n^5 und den Grenzwert bestimmen soll. Wie kann ich da am besten Vereinfachen?

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Aber eine Frage hätte ich noch:

Warum ist (2n+6)/(n^2)<(2n+6)/(n^2+3n). Wird die rechte Seite nicht kleiner, wenn ich den Nenner vergrößere? Dann gilt diese Ungleichung doch nicht, oder?

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Ach ja, da hatte ich mich vertan.

Aber es geht dennoch durch verkleinern des Nenners

(2n+6)/(n²+1)<(2n+6)/(n²) = 2/n + 6/n² = (1/n) * ( 2 + 6/n) < (1/n) * ( 2 + 6) = 8/n

Und dann 8/n < eps gibt n_o > 8/eps