Warum konvergiert diese Folge gegen e? an:= ((2n+3)/(2n+1))^{n+1}

Question

an:= ((2n+3)/(2n+1))^{n+1}

ich weiß, dass (1-1/n)^n gegen e konvergiert aber bekomme die folge nicht in diese Form.

Comments

ich weiß, dass (1-1/n)ⁿ gegen e konvergiert

Hilfreicher ist die richtige Formel \((1+x/n)^n\to e^x\). Um die zur Anwendung zu bringen, musst Du zuerst \(2n\) kuerzen.

Answer 1

Ohne Gewähr! Vermutlich geht es auch einfacher :) 

Wie geht kürzen hier genau? 

x = lim ((2n+3)/(2n+1))ⁿ⁺¹

= lim ((2n+1)/(2n+1) + 2/(2n+1))ⁿ⁺¹

=lim (1 + 2/(2n+1))ⁿ⁺¹   und jetzt?

Ich könnte einfach mal quadrieren:

x^2 = lim (1 + 2/(2n+1))^{n+1 *}  (1 + 2/(2n+1))ⁿ⁺¹

x^2 = lim (1 + 2/(2n+1))^{1 *}  (1 + 2/(2n+1))²ⁿ⁺¹

= (1+0)^1 * e^2

x^2 = e^2   | √

x = ± e

Das negative Ergebnis kann ich streichen, weil kein einziges Folgenglied negativ ist.

Also ist x = e q.e.d.