Konvergenz von Folge an:=(1+1/n)^n

Question

Hallo

Wie kann ich die Konvergenz der Folge a_n:=(1+1/n)^n zeigen ?

Gruß Marko

Präzisierender Tipp: folgende Ungleichung 1+1/n ≤ e^1/n ≤ 1+1/(n-1) für alle n∈ℕ mit n≥2 beweisen.

Comments

Es gibt einige Wege. Welcher sinnvoll ist hängt stark davon ab was ihr bereits in der Vorlesung gemacht habt.

Es geht z.B. indem man zeigt, dass die Folge beschränkt ist und für fast alle n monoton steigend ist.

Dabei hilft die Ungleichung von arith. und geom. Mittel. Ist das bekannt?

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Weitere Diskussionen zu deiner Folge auch: https://www.mathelounge.de/58629/ungleichung-und-konvergenz-1-1-1-n-n-≤-∑-0-bis-n-1-k-1-2-∑-k-0-bis-n-1-k-3

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ja das geht auf jeden fall in die richtige Richtung denke ich, als Tipp wurde uns gegeben, um den Grenzwert zu ermitteln, dass wir folgende Ungleichung 1+1/n ≤ e^1/n ≤ 1+1/(n-1) für alle n∈ℕ mit n≥2 beweisen sollen.

Ist das das, was du meinst ?

Answer 1

Der Grenzwert ist ja e. Unter folgendem Link findest du eine Herleitung. https://docs.google.com/document/d/1RHGPo2N_KAg-4stdeHdTAtDemSrWNjzPwkLnF9zeTZs/pub

Scheu dich nicht zu fragen, wenn du etwas nicht verstehst.

Konvergenz der Folge: an = (1 + 1/n)^n

 

(1 + 1/n)^n

e^{ln((1 + 1/n)^n)}

e^{n·ln(1 + 1/n)}

 

Wir betrachten jetzt nur mal den Exponenten

 

n·ln(1 + 1/n)

ln(1 + 1/n) / (1/n)

 

Wir wenden die Regel_von_L’Hospital an

 

1/(1 + 1/n)·(-1/n^2) / (-1/n^2)

1/(1 + 1/n)

lim (n→∞) 1/(1 + 1/n) = 1

 

Jetzt betrachten wir die Folge und setzen 1 für den Grenzwert des Exponenten ein

 

lim (n→∞) e^{n·ln(1 + 1/n)} = e^1 = e

Comments

Der Beweis setzt die Gleichheit e^x=lim_n→∞ (1+x/n)ⁿ sowie die Exponentialrechenregel e^x+y=e^x ·e^y sowie den Satz von L'Hopital aus der Differentialrechnung voraus (evtl auch noch anderes).

Diese Werkzeuge stehen in der Regel den Studenten noch nicht zur Verfügung bei der Bearbeitung einer solchen Aufgabe.

Wenn es ganz blöd läuft, läuft man damit auch sehendes Auges in einen Zirkerlschluss.