Warum konvergiert die Folge (1+1/n)^n gegen e?

Question

Hallo :-)

Gegeben ist die Folge an= (1+1/n)^n.

Diese Folge konvergiert ja für n--> unendlich gegen die eulersche Zahl e, wie ich durch ausprobieren, Graph anschauen usw herausgefunden habe.

Aber ich verstehe nicht warum...

1/n geht doch gegen 0 wenn n gegen unendlich geht... damit müsste der Inhalt der Klammer 1+1/n doch eigentlich insgesamt gegen 1 gehen, und 1^n würde dann ja auch gegen 1 gehen... was aber ja offensichtlich nicht der Fall ist.

Kann mir das jemand erklären?

LG

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Nach der Bernoulli Ungleichung ist \((1+\tfrac1n)^n\ge1+n\cdot\tfrac1n=2\). Deswegen kann der Grenzwert nicht 1 sein.

Answer 1

Diese Folge konvergiert ja für n--> unendlich gegen die eulersche Zahl e

Was ist denn dieses e überhaupt? Ich kenne da drei Definitionen, e := lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ ist eine davon. Die anderen zwei sind

        e := ∑_n=0..∞ 1/n!

        e ist die Zahl, die man für a einsetzen kann, damit lim_h→0 (a^h - 1)/h = 1 ist.

damit müsste der Inhalt der Klammer 1+1/n doch eigentlich insgesamt gegen 1 gehen

Ja.

und 1ⁿ würde dann ja auch gegen 1 gehen

Ja.

... was aber ja offensichtlich nicht der Fall ist.

Was du bisher gesagt hast, ist beides richtig. Mathematisch präzisiert, hast du

        lim_n→∞ (lim_m→∞ (1+1/m))ⁿ

berechnet. Das ist aber nicht das gleiche wie

        lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ.

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Was ist denn dieses e überhaupt?

Wir haben e bisher eigentlich noch gar nicht richtig definiert... ich hab eben nur gesehen, dass sich die Folge dem Wert 2,718.... annähert, was ja ungefähr die zahl e ist.

Mathematisch präzisiert, hast du 

        limn→∞ (limm→∞ (1+1/m))n

berechnet. Das ist aber nicht das gleiche wie 

        limn→∞ (1+1/n)n. 

Aber warum ist das nicht dasselbe? Wenn n gegen unendlich geht, müssen doch sowohl das n in der Klammer als auch das n in der Potenz hinter der Klammer gegen unendlich gehen, oder nicht?

Und da meine Herangehensweise ja offenbar nicht funktioniert hat: auf welche Art und Weise kann ich sonst (anschaulich) begründen, warum dieser Ausdruck gegen e konvergiert? Also woran sieht man das?

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Na die eulersche Zahl... oder wie meinst du die Frage?

Ich habe meine Antwort dahingehend präzisiert.

"eulersche Zahl" ist der Name für eine ganz bestimmte Zahl. Durch was ist diese Zahl denn bestimmt?

sowohl das n in der Klammer als auch das n in der Potenz hinter der Klammer gegen unendlich gehen

Ja. Und zwar gleichzeitig, und nicht, wie du es gemacht hast, nacheinander.

warum dieser Ausdruck gegen e konvergiert?

Dazu benötigst du erst ein mal eine Definition, was e überhaupt ist.

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Ich habe meine Antwort dahingehend präzisiert. 

Ja, hab ich gesehen,ich hab meine Antwort dann auch nochmal geändert. Also wie gesagt, eine genaue Definition für die eulersche Zahl hatten wir noch nicht.

Vielleicht braucht man das ja auch gar nicht für die Aufgabe... eigentlich soll ich nur zeigen, dass an < 3 ist. Und ich dachte halt ich zeige dann am besten, dass an nie größer als e wird und folgere daraus dass an immdr kleiner als 3 ist.

Vielleicht war das dann auch ein ganz falscher ansatz...

Answer 2

beim Grenzwertprozess strebt die Basis gegen 1 und gleichzeitig der Exponent gegen unendlich. Das beachtest du nicht, wenn du einfach 1^∞ rechnest.

Man kann zeigen, dass die Folge konvergiert. Und den Grenzwert nennt man Eulersche Zahl. Anhand deiner Fragestellung geh ich mal davon aus, dass du deine Frage im Rahmen der Schulmathematik stellst. Da fehlen dir Mittel, um die Konvergenz zu zeigen.

Wenn es dich interessiert, dann schaue dir

https://mathepedia.de/Die_Zahl_e.html

an.

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Nein, die Frage ist im Rahmen der Unimathematik gestellt ;-)

Die Aufgabe ist auch nicht zu zeigen, dass die Folge gegen den Grenzwert e konvergiert, sondern zu zeigen dass an < 3, also dass es kein Folgeglied an gibt, das größer oder gleich 3 ist. Und weil ich zufällig gesehen habe dass die Folge gegen e konvergiert, dachte ich könnte ich das einfach zeigen und damit begründen dass sie nicht größer als 3 wird da e<3. Aber anscheinend ist das doch nicht so einfach wie gedacht :-D und da wir die Zahl e noch gar nicht formal eingeführt und definiert haben, ist das wahrscheinlich auch nicht der gewollte lösungsweg.

Aber... wie kann ich es dann zeigen?  :-D

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Aber... wie kann ich es dann zeigen?

Steht im Link.

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Weiß nicht ob mir das jetzt so weiterhilft... aber trotzdem Danke :-)

Answer 3

Aloha :)

Die e-Funktion hat bei \(x=0\) eine Tangente mit der Steigung \(1\). Daher kann sie in der Nähe von \(x\approx0\) sehr gut durch die Gerade \(e^x\approx1+x\) angenähert werden. Die Näherung ist umso besser, je näher \(x\) bei \(0\) liegt. Mit diesem Wissen im Hinterkopf betrachte:$$e=e^1=e^{n/n}=\left(e^{1/n}\right)^n\approx\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\quad\text{für}\quad n\gg1$$Für \(n\to\infty\) wird Gleichheit erreicht.