Zeigen Sie allgemeiner: Für alle x ∈ R konvergiert (1 + x/n)^n gegen e^x

Question

In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass,

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) ^ { n } = e $$

Zeigen Sie allgemeiner: Für alle x ∈ R ist

$$  \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { x } { n } \right) ^ { n } = e ^ { x } $$

Answer 1

Gemäß den Gesetzen über die Superposition von Konvergenzen, also dass wenn f(y)→f(y₀) und g(x)→y₀=g(x₀)  konvergieren, auch f(g(x)) konvergiert und zwar gegen f(g(x₀)) = f(y₀), gilt:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { x } { n } \right) ^ { n } = \lim _ { u \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { u } \right) ^ { u x } = \left( \lim _ { u \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { u } \right) ^ { u } \right) ^ { x } = e ^ { x } $$

Wobei ich im zweiten Schritt die Substitution mit der Folge u = n/x verwendet habe.

Bei festem x geht u für n gegen Unendlich offensichtlich ebenfalls gegen unendlich und es gilt n = ux.

Comments

Wieso genau ist u = n/x? Geht das für ein festes negatives x nicht gegen -oo für n->oo?

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Das ist richtig, das habe ich übersehen.

Für negatives x substituiert man u = -n/x und erhält:

$$ \begin{array} { l } { \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { x } { n } \right) ^ { n } = \lim _ { u \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { u } \right) ^ { - u r } = \lim _ { u \rightarrow \infty } \left( \frac { u } { 1 - u } \right) ^ { u x } } \\ { = \lim _ { v \rightarrow \infty } \left( \frac { v + 1 } { v } \right) ^ { ( v + 1 ) x } = \lim _ { v \rightarrow \infty } \left( \left( 1 + \frac { 1 } { v } \right) ^ { v } \right) ^ { x } \cdot \left( 1 + \frac { 1 } { v } \right) ^ { x } ) } \end{array} $$

Für beliebiges festes x konvergieren nun beide Faktoren nämlich der erste gegen e^x und der zweite gegen 1, weil (1+1/v)^x für festes x einen Ausdruck der Form 1^c mit c<∞ darstellt.

Damit konvergiert das Produkt gegen das Produkt der Grenzwerte, also 1*e^x = e^x

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und natürlich noch die Fallunterscheidung für x=0 ;-)