Zeigen Sie: Ist f : R → R differenzierbar mit f '(x) = (f(x))^2 ∀x ∈ R, so ist f(x) =0 ∀x ∈ R.

Question

(a.)In der Vorlesung haben wir alle differenzierbaren Funktionen f : R → R bestimmt, für die f '(x) = f(x) für alle x ∈ R. Verallgemeinen Sie dies:

Sei a : R → R differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f :R → R differenzierbar mit f'(x)= a'(x) ∀x∈ R, so gibt es ein c ∈ R mit

f(x)=ce^a(x) ∀∈R.

(b.) Zeigen Sie: Ist f : R → R differenzierbar mit f '(x) = (f(x))² ∀x ∈ R, so ist f(x) =0 ∀x ∈ R.

Comments

Gemäss Kommentar bei einer Lösung müsste man die erste Frage abändern:

Die korrekte erste Aufgabe lautet

Sei a : ℝ -> ℝ differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f : ℝ -> ℝ differenzierbar mit f'(x) = a'(x)*f(x) für ∀ x ∈ ℝ, so gibt es ein c ∈ ℝ mit f(x) = ce^a(x) für alle x ∈ ℝ.

Ich vermute aber, dass die  dann doppelt vorhanden ist. Ich werde noch einen Moment suchen und gegebenenfalls den Link anfügen.

Answer 1

Also die erste Aufgabe ist schlicht falsch.

Richtig wäre f'(x) = a'(x) ⇒ ∃c: f(x) = a(x) + c

Oder aber f'(x) = a'(x)*f(x) ⇒ ∃c:  f(x)=ce^a(x)

Um aber wirklich den Beweis führen zu können, müsste ich wissen, wie ihr das vorher gemacht hat. Man kann hier einfach den konstruktiven Beweis führen und f(x) ableiten und in die Ausgangsgleichung einsetzen. Die Frage ist, ob das der gesuchte Weg ist.

 

b) Hier kann man die Differentialgleichung mit der Seperation der Variablen lösen.
Falls f(x) nicht die Nulllösung ist, dann folgt mit dem Prinzip der Seperation:
f(x) = 1/(c-x)

Diese Funktion ist aber für beliebige c nicht auf ganz R definiert. Also bleibt nur die Nulllösung, die auf ganz R definiert ist.

Comments

Die korrekte erste Aufgabe lautet

Sei a : ℝ -> ℝ differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f : ℝ -> ℝ differenzierbar mit f'(x) = a'(x)*f(x) für ∀ x ∈ ℝ, so gibt es ein c ∈ ℝ mit f(x) = ce^a(x) für alle x ∈ ℝ.

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könntest du eventuell für beide Aufgabenteile einen Lösungsweg samt Erklärung für Dumme aufschreiben?

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jo, lösung wär nicht schlecht, erst mal zu a).

Wenn ich f einfach ableite, beweise ich doch nur die entgegengesetzte Richtung.

Und Integrieren "dürfen" wir noch nicht :D

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Da man zeigen kann, dass Stammfunktionen bis auf eine additive Konstante eindeutig sind, reicht die entgegengesetzte Richtung schon aus.

 

Wie gesagt: es wäre hilfreich zu wissen, wie ihr den Satz aus der Vorlesung bewiesen habt. Momentan fällt mir nämlich kein direkter Beweis ein.

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Also wir haben ganz Normal mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten angesetzt:

 

1/h * (exp(x+h)-exp(x)) = 1/h * exp(x) * (exp(h)-1)

Dann muss gezeigt werden, dass lim h->0 von (exp(h)-1)/h = 1 ist, dann wäre man fertig.

 

Dazu wurde auf einen Paragraphen verwiesen, in dem gezeigt wurde:

|exp(x) - Summe k=0 bis n über (x^k)/k! |   < 2 (|x|^{n+1})/(n+1)!  für alle |x|<= (n+2)/2

Nach kurzen Umformungen: | (exp(x)-1)/x -1 | <= |x|

 

Und daraus folgert er dann irgendwie, dass lim h->0 von (exp(h)-1)/h = 1 ist, was ich nicht ganz kapier.

 

Hilft dir das? Ka, wie man damit die Aufgabe lösen soll.

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Ja, wäre super, wenn du zur a) auch etwas schreiben könntest :)