Aufgabe
Beweisen Sie: Wenn f:ℝ→ℝ differenzierbar ist und ∃c>0:∀x>0:fʹ(x)>c, dann ist limx→∞f(x)=∞.
Geben Sie ein Beispiel, dass die Folgerung nicht gilt, wenn nur gefordert wird: ∀x>0:fʹ(x)>0.
Ansatz
Wir wissen, dass f auf ganz ℝ differenzierbar ist. Demnach existiert die Ableitung auf ganz ℝ. Nun gilt also fʹ(x)>c>0, demnach folgt nach dem Monotoniekriterium, dass f auf ganz ℝ streng monoton wächst, womit direkt gefolgert werden kann, dass: limx→∞f(x)=∞
Nun habe ich mir folgendes Gegenbeispiel überlegt:
f(x)=−1x, damit folgt fʹ(x)=1x2>0 Aber es gilt:
limx→∞−1x=0
Stimmt das so, oder bin ich gerade auf fragwürdigen Pfaden unterwegs?
BG,
Skyline
