Zeige: ∃C ∈ℝ: f(x) = Cx ∀x ∈ℝ

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ → ℝ stetig, und es gelte:

f(x+y) = f(x) + f(y)  ∀x,y ∈ℝ.

Zeige: ∃C ∈ℝ: f(x) = Cx   ∀x ∈ℝ.

Answer 1

Zeige mit vollst Induktion für alle n∈N  und alle x∈ℝ    f(n*x)=n*f(x) #

Für n= 1 klar .

Und wenn es für n gilt, dann

f((n+1)*x) = f(n*x + x) = f(nx) + f(x) = n*f(x)+f(x) = (n+1)*f(x).

Also auch für x=1  für alle n∈N   f(n) =      f(n*1) = n*f(1) .

Also ist f(1) wohl das gesuchte c. und für alle n∈N gilt

also   f(n) = n*c.

Sei nun x= 1/m mit m∈N.  Also nach #

           ==>  f(m*x) = m*f(x)

          ==>   f( m* 1/m ) = m * f(1/m)

         ==>     f(1) =  m * f(1/m)

         ==>    c  =  m * f(1/m)

       ==>   f(1/m ) =   1/m * c

Entsprechend kannst du es für alle x∈ ℚ ausdehnen.

Und da f stetig ist, gilt auch für alle x∈ℝ    f(x) = x*c =x*f(1).