Ich nehme an, dass f : ℝ→ℝ stetig in "a" ist und aufgrund des topologischen Kriteriums für Stetigkeit zu jeder Umgebung U von f(a)∈ℝ, dass Urbild f^{-1}(U) eine Umgebung von a ist und existiert. Siehe dazu: http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/topo-2013/chapter-2.pdf
Wie sieht nun das Urbild von der Umgebung U in dem unten angegebenen relativ algemeinen Fall aus?
U:= Kε(f(a))={f(x)∈ℝ||f(x)-f(a)|<ε}
Mein Vorschlag:
f^{-1}(U)=Kε(a)={x∈ℝ| |x-a|<ε}
Kann mir jemand begründen, warum das stimmt oder nicht stimmt? Kann überhaupt ein Urbild von U in einem so alg. Fall angeben werden? Vielleicht wirkt die Frage trivial, aber ich finde diesen Zusammenhang recht unanschaulich und mir ist nicht klar, ob ich bspw. einfach f^{-1}(U)=Kε(a) setzten kann, nur weil f^{-1}(f(a))=a gilt etc.
PS: Kann jemand Topologie/topologisch als Stichwort hinzufügen?
