Frage über ε-δ-Definition der Stetigkeit

Question

hier steht zwei verschiedene Definitonen, aber leider sie sind nicht anders für mich. Im Buch steht "Der Unterschied beider Definitionen ist, dass bei gleichmäßiger Stetigkeit das δ nur von ε, aber nicht vom Punkt p abhängen darf."

Das macht keinen Sinn für mich, können wir statt x' nicht einfach p schreiben?

Definiton 1: (ε-δ-Definition der Stetigkeit). Sei D ⊂ R und f : D→R eine Funktion. f ist genau dann im Punkt p ∈ D stetig, wenn gilt:

Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass
| f (x)− f (p) | < ε für alle x ∈D  mit | x− p | < δ .

Definition 2 : Eine Funktion f : D→R heißt in D gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass
| f (x)− f (x )| < ε für alle x, x ∈ D mit | x−x' | < δ.

Answer 1

Hallo

 Beispiel 1/x ist in (0,a] stetig, aber je näher du 0 kommst umso kleiner musst du zu gegebenem δ dein ε wählen, das heisst in dem Intervall  ist f(x) zwar stetig aber nicht gleichmäßig stetig, da das jeweilige δ von der Stelle x abhängt. in (1,a] dagegen ist 1/x auch gleichmäßig stetig.

auch x^2 ist in jedem abgeschlossenen Intervall  glm. stetig, aber nicht glm. stetig auf R

Gruß lul