Stetigkeit einer Funktion durch das Epsilon-Delta-Kriterium zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie nur unter Verwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums, dass die Funktion
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \)
auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Problem/Ansatz:

Habe wieder erneut angefangen Delta zu suchen, aber bleibe wieder stecken, irgendwelche Idee, wie es weitergehen kann?

Nebenrechnung:

\( \begin{aligned}\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right| &=\left|\frac{x^{3}}{1+x^{2}}-\frac{x_{0}^{3}}{1+x_{0}^{2}}\right|=\\ &=\left|\frac{x^{3}\left(1+x_{0}^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x_{0}^{2}\right)}-\frac{x_{0}^{3}\left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x_{0}^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)}\right|=\\ &=\left|\frac{x^{3}\left(1+x_{0}^{2}\right)-x_{0}^{3}\left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x_{0}^{2}\right)}\right|=\end{aligned} \)

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal a statt \(x_0\). Zunächst kannst Du ja den Nenner großzügig abschätzen; dann schieben wir ein \(\pm a^3(1+a^2)\)

$$|f(x)-f(a)| \leq |x^3(1+a^2)-a^3(1+x^2)| =| (x^3-a^3)(1+a^2)+a^3(a^2-x^2)|$$

$$=|(x-a)(x^2+ax+a^2)+a^3(a-x)(a+x)|$$

Jetzt kannst Du den Faktor \((x-a)\) ausklammern und mit \(\delta\) abschätzen. Alle anderen x-Terme schätzt Du ab mit der Überlegung:

$$|x-a| < \delta \Rightarrow |x| < |a|+\delta$$

Da Du ja \(\delta\) wählen kannst, verlangst Du einfach unter anderem \(\delta<1\). Dann kannst Du alles abschätzen und am Ende Dien \(\delta\) endgültig wählen.

Gruß Mathhilf