Epsilon-Delta- Kriterium Stetigkeit beweisen

Question

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien D, E ⊂ ℂ, f : D → E, g: E → ℂ          Funktionen

Beweisen Sie anhand des ε-δ-Kriteriums folgende Aussage:

 Falls f stetig in x₀∈ D und g stetig in f(x₀) ∈ E, dann ist g ο f stetig in x₀

Comments

Hallo

hast du das Kriterium denn mal einzeln für die 2 Funktionen aufgeschrieben? und dann für die Komposition?

Gruß lul

Answer 1

f stetig in x₀∈ D  bedeutet    ∀ε1 > 0 ∃δ1  |x-x_o| < δ1 ==>  | f(x) - f(xo) < ε1

und g stetig in f(x₀)=y_o  bedeutet    ∀ε2 > 0 ∃δ2  |y-yo| < δ2 ==>  | g(y) - g(yo)  < ε2

Und zeigen musst du: gof stetig in x₀∈ D  und das bedeutet

    ∀ε > 0 ∃δ  |x-xo| < δ1 ==>  | f(x) - f(xo) < ε1

f stetig in x₀∈ D  bedeutet    ∀ε > 0 ∃δ  |x-xo| < δ ==>  | g( f(x)) - g(f(xo)) |  < ε.

Und das kannst du aus den ersten beiden Statements herleiten.