Stetigkeit der reellen Funktion f:(o,∞) →ℝ, definiert durch f(x):= 1/x^2. Epsilon-Delta-Kriterium

Question

Ist die Folgende Funktion stetig:

f:(o,∞) →ℝ, definiert durch f(x):= 1/x²

Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium: Sei x>0, |x-x₀|<δ

|f(x) - f(x₀)| = |(1/x² ) - (1/x₀² )| = |(x₀² -x²) / (x₀² * x²)|

  Um den Beweis zu vervollständigen muss man den Ausdruck weiter vereinfachen und nach unten abschätzen um ein δ zu finden, dass kleiner als ε ist.

Wie geht es weiter und wie schreibt man das formal richtig auf?

Answer 1

$$ |\frac { { x }_{ 0 }^2-x^2 }{ { x }_{ 0 }^2x^2 }|\\=|\frac { ({ x }_{ 0 }-x)({ x }_{ 0 }+x) }{ { x }_{ 0 }^2x^2 }|\\<\delta|\frac { { x }_{ 0 }+x }{ { x }_{ 0 }^2x^2 }|<\epsilon\\\delta<\epsilon|\frac { { x }_{ 0 }^2x^2  }{ { x }_{ 0 }+x  }|\\ $$