Beweisen Sie schlüssig, dass A = B C nicht invertierbar ist. A ∈ K^{4×4} , B ∈ K^{4×3} , C ∈ K^{3×4}

Question

 Sei K ein Körper und seien A ∈ K ^4×4 , B ∈ K ^4×3 , C ∈ K ^3×4 , so dass A = B C . Beweisen Sie schlüssig, dass A nicht invertierbar ist.

wie kann ich das beweisen? bitte um hilfe

Answer 1

B und C haben maximal den Rang 3.

Matrixmultplikation kann den Rang nicht vergrössern.

Also hat A maximal den Rang 3 . 4x4-Matrizen sind aber nur invertierbar, wenn sie den Rang 4 haben.

Answer 2

Kennst du die Rangungleichung ?  Dann ist es einfach

rang(A*B) ≤ min ( rang(A) , rang(B) ) Da A und beide höchstens den rang 3 haben können

( Dieeine hat nur 3 Zeilen und die andere nur 3 Spalten)


kann also A*B höchstens den rang 3 haben.  Eine invertierbare

4x4 Matrix muss aber rang=4 haben.