Wieso ist die folgende Matrix (4x4,K) nicht invertierbar, wenn char(K)=2?

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper und

$$A :=\left( \begin{array}{llll}{0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {1} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} & {1}\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(4 \times 4, K) $$
(a)  Zeigen Sie, dass A nicht invertierbar ist, wenn char(K) = 2.
(b) Begründen Sie, dass A invertierbar ist, wenn char(K) ≠ 2 gilt. Geben Sie weiterhin A⁻¹ explizit an und stellen Sie A als Produkt von Elementarmatrizen dar.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz, wie ich die a) angehen soll.

Zur b) muss ich, soweit ich das sehe, den Gauß-Algorithmus anwenden und das ganze dann - logischerweise - als Produkt von Elementarmatrizen darstellen. Die Begründung, weshalb A invertierbat ist, falls char(K)≠2 ist, wird sich aus a) ergeben nehme ich an.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

a) Addiere die Zeilen zwei und vier zur ersten und erhalte eine Nullzeile.

---

das klärt alles. dankeschön!

Answer 1

\(\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}  +\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\)