Aufgabe:
Gegeben ist die Funktionenschar ft(x)=(tx+1)× e^-x , t ∈ℝ^≠0.
a) Bestimmen Sie t so, dass der Graph von ft durch den Punkt Q (1|1) geht.
b) Bestimmen Sie die Extemstellen von ft in Abhängigkeit von t.
c) Zeigen Sie, dass die Gerade mit y1 = (t-1)× x +1 eine Tangente an den Graphen ft im Punkt P(0| ft (0)) ist. Begründen Sie, dass alle Tangenten durch den Punkt P gehen.
d) Zeigen Sie, dass Ft mit F(x) = -(tx+1+t) × e ^-x , t ∈ℝ, eine Stammfunktion von ft ist.
e) Berechnen Sie die Fläche A1, die vom Graphen von f2, der x-Achse und der Tänzelte in Punkt P(0| f2 (0)) für negative x -Werte eingeschlossen wird.
f) Die Fläche A2 wird für positive x-Werte vom Graphen f2, den Koordinatenachsen sowie von der Geraden x=a für a > 0 eingeschlossen. Bestimmen Sie a so, dass die beiden Flächen A1 aus g) und A2 den gleichen Flächeninhalt haben.
g) Die Punkte A(0|0), B (u|0) und C( u | f2 (u)) bilden ein Dreieck mit der Fläche A3. Wie muss u gewählt werden, damit der Flächeninhalt A3 des Dreiecks maximal wird? Bestimmen Sie anschließend das u so, dass die Flächen A1 aus g), A2 aus h) und A3 den gleichen Flächeninhalt haben.
Problem/Ansatz:
Ich lerne momentan für meine Matheklausur und bin mir bei dieser Aufgabe unsicher. Bei Aufgabe a) würde ich den Punkt Q in die Gleichung von ft (x) einsetzen. Stimmt dies? Bei Aufgabe b) würde ich ft' (x) aufstellen und gleich Null setzten (notwendige Bedingung) und ausrechnen. Nun die 2. Ableitung aufstellen und berechnen ob es einen Hochpunkt oder Tiefpunkt gibt. Diese dann in ft (x) einsetzten und dadurch bekomme ich die Extemstellen. Bei der Augabe d) würde ich die 1. Ableitung von Ft(x) berechnen.
Bei den restlichen Aufgaben habe ich leider keine Idee. Ich würde mich sehr über eine Erklärung und über eine Vorrechnung freuen, damit ich in Zukunft diese Art von Rechnung alleine meistern kann. Danke schonmal für die Antworten und liebe Grüße.
