Injektiv, surjektiv, bijektiv - Abbildung f2 :R→R:x→x^5 −2

Question

 

Ich mache gerade ein paar Übungsaufgaben. Habe jetzt mehrere Aufgaben zu Invektive, surjektive und bijektive Abbildungen. Ich wollte euch fragen ob ich eins erklärt bekommen, so dass ich die folgenden Aufgaben danach alleine lösen kann. 

Die Aufgabe lautet:

 

Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv bzw. bi-
jektiv? Geben Sie für die bijektiven Abbildungen die Umkehrabbildungen an. 1.
gilt.

f2 :R→R:x→x⁵ −2

 

Mein Ansatz:

 

Ich hätte jetzt einfach die Funktion einzeichnen lassen und würde das so erklären. Aber wir dürfen keinen GTR benutzen und ich würde gerne eine allgemeine Regel oder einen Ansatz hierzu wissen.

 

Answer 1

Du hast die Funktion

y = x^5 - 2

Wenn du die jetzt eindeutig nach x auflösen kannst und so eine Umkehrfunktion bilden kannst ist die Funktion bijektiv.

x^5 - 2 = y
x^5 = y + 2
x = (y + 2)^{1/5}

Injektiv bedeutet das jedes Element der Zielmenge nur einmal angenommen wird. Das wäre z.B. bei f(x) = x^2 nicht der Fall.

Surjektiv bedeutet, das jedes Element der Zielmenge mind einmal als Funktionswert angenommen wird.

Comments

Super danke, also ist die Funktion bijektiv und somit auch injektiv und surjrktiv. Muss ich injektiv und surjektiv nicht nachweisen?

angenommen wir hätten die Funktion: y=e^x.

Hier kann man die Funktion nicht eindeutig nach x auflösen, das heißt dann, dass es nicht bijektiv ist. Hab ich das richtig verstanden? 

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Das kommt hier v.A. auf den Definitions- und den Wertebereich an.

y = e^x           D= R, W = R^+

x = ln(y)          
y = ln(x)         D = R^+, W = R

Diese Funktion ist durchaus bijektiv. Die Umkehrfunktion hat allerdings einen eingeschränkten Definitionsbereich.

x = (y + 2)^1/5  wird nicht immer als wohldefiniert betrachtet.

Man kann dafür auch x = sign(y+2) (|y+2|)^{1/5} schreiben.