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Analyse der ursprünglichen Populationsmatrix
Um zu untersuchen, ob die Population schrumpft oder wächst, müssen wir die ursprüngliche Populationsmatrix \(L\) betrachten:
\( L = \begin{pmatrix} 0 & 1.15 \\ 0.8 & 0 \end{pmatrix} \)
Um das Wachstumsverhalten der Population zu bestimmen, benötigen wir den dominanten Eigenwert der Matrix. Der dominante Eigenwert gibt an, ob die Population wächst (\(>1\)), schrumpft (\(<1\)) oder stabil bleibt (\(=1\)).
Die Eigenwerte \(\lambda\) einer Matrix \(A\) werden durch die Gleichung \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\) gefunden, wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist. In diesem Fall:
\( \text{det}(L - \lambda I) = \text{det}\left( \begin{pmatrix} -\lambda & 1.15 \\ 0.8 & -\lambda \end{pmatrix} \right) = \lambda^2 - (1.15 \times 0.8) = 0 \)
Somit wird das charakteristische Polynom zu:
\( \lambda^2 - 0.92 = 0 \)
Die Eigenwerte \(\lambda\) finden wir durch Lösen dieser quadratischen Gleichung:
\( \lambda = \sqrt{0.92} \)
\( \lambda \approx 0.959 \)
Da der dominante Eigenwert kleiner als 1 ist, schrumpft die Population unter der ursprünglichen Populationsmatrix.
Einfluss des Klimawandels
Wenn der Klimawandel die Populationsmatrix zu
\( L' = \begin{pmatrix} 0.75 & 0.4 \\ 0.8 & 0 \end{pmatrix} \)
ändert, müssen wir erneut prüfen, ob die Population schrumpft oder wächst, indem wir den dominanten Eigenwert der modifizierten Matrix berechnen.
Die Eigenwerte der neuen Matrix \(L'\) finden wir durch:
\( \text{det}(L' - \lambda I) = \text{det}\left( \begin{pmatrix} 0.75-\lambda & 0.4 \\ 0.8 & -\lambda \end{pmatrix} \right) = (0.75-\lambda)(-\lambda) - (0.4 \times 0.8) = 0 \)
Vereinfacht:
\( \lambda^2 - 0.75\lambda - 0.32 = 0 \)
Nun verwenden wir die quadratische Formel zur Lösung der Gleichung für \(\lambda\):
\( \lambda = \frac{-(-0.75) \pm \sqrt{(-0.75)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.32)}}{2 \cdot 1} \)
\( \lambda = \frac{0.75 \pm \sqrt{0.5625 + 1.28}}{2} \)
\( \lambda = \frac{0.75 \pm \sqrt{1.8425}}{2} \)
\( \lambda = \frac{0.75 \pm 1.3572}{2} \)
Die relevanten Werte für \(\lambda\) sind dann:
1. \( \lambda_1 = \frac{0.75 + 1.3572}{2} \approx 1.0536 \)
2. \( \lambda_2 = \frac{0.75 - 1.3572}{2} \) (negativ, also weniger relevant für die Langzeitdynamik)
Der dominante Eigenwert nach dem Klimawandel ist größer als 1 (\(\lambda_1 \approx 1.0536\)), was bedeutet, dass die Population unter den neuen Bedingungen wachsen wird.
Fazit
Unter der ursprünglichen Populationsmatrix schrumpft die Population. Nach dem Klimawandel, der die Populationsdynamik ändert, wächst die Population hingegen. Somit hat der Klimawandel eine positive Auswirkung auf die Populationswachstumstendenz.
