Markov Ungleichung am Beispiel eines Würfels

Question

Aufgabe:

Ein fairer Würfel wird n-mal geworfen. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei
mindestens n/4 Einsen fallen, mit der Markov-Ungleichung ab.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir noch nicht so ganz Sicher wie ich die Einzelnen Parameter der Ungleichung ermittel. Aktuell komme ich auf ein Ergebnis was meiner Meinung nach falsch sein muss:

Markov-Ungleichung: $$Pr[X \geq t] \leq \frac{E[x]}{t}$$

Der Erwartungswert eines klassischen Fairen Würfels ist 3,5. Bei t bin ich mir unsicher ob ich einfach t = n/4 annehmen darf? Weil dann würde ich folgendes Ergebnis erhalten:  $$Pr[X \geq t] \leq \frac{14}{n}$$

Dies macht für eine Abschätzung einer Wahrscheinlichkeit keinen Sinn. Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Natürlich musst du t = n/4 setzen, um in die Markov-Ungleichung einzusetzen.

Sei Y die Zufallsvariable, die die Anzahl an dem Einsen-Auftritt beim Würfeln von n-mal darstellt. Jeder Würfel ist voneinander unabhängig und für jeden ist die Wahrscheinlichkeit für einen 1-Auftritt gleich 1/6. Daher ist die Verteilung von Y Binomialverteilung. Y~ B(n; 1/6)

--> E[Y] = n*1/6 = n/6

Nach der Markov-Ungleichung haben wir:

Pr[Y >= t] <= E[Y]/t

Setze t = n/4 ein, erhältst du das Ergebnis von 2/3.

Hoffe, das hilft.