Obere Schranken via Markov-, Chebychew- und Chernoff- Ungleichung

Question

Könnte mir bitte jemand bei diesen Aufgaben weiterhelfen?

Comments

Vielleicht wäre es mal angebracht die Aufgaben alleine zu lösen und nicht von den ausgegebenen Übungsblättern der TU Berlin rauszukopieren und kommentarlos hier reinzustellen.

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Vielleicht wäre es mal angebracht weniger andere Leute zu maßregeln? Wer bist du, dass du hier Leuten  verbietest ihre Hausaufgaben auf diese Plattform zu stellen und Feedback oder Lösungsansätze zu bekommen?

Komm mal klar!

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Wenn man den Leuten verbieten würde Ihre Hausaufgaben hier reinzustellen gäbe es wohl noch kaum Aktivität in diesem Forum (wertfreie Bemerkung).
Auf der anderen Seite ein gut gemeinter Rat:
Mit ein wenig Eigenbemühung und der Darstellung dieser steigert sich die Wahrscheinlichkeit auf eine Antwort. Ansonsten besteht immer der negative Verdacht, dass man sich hier nur seine Hausaufgaben machen lassen möchte, anstatt wirklich an der Lösung interessiert zu sein.

Answer 1

mal was konstruktives

(1) Chebyshev
$$ P \left \{ X \ge \frac{n}{4} \right \} \le P \left \{ \left| X - \frac{n}{6} \right| \ge \frac{n}{12} \right \} \le \frac{n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}{\frac{n^2}{144}} = \frac{20}{n}  $$

(2) Chernoff
$$ P \left \{ X \ge \frac{n}{4} \right \} = P \left \{ X \ge \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{n}{6} \right \} \le \exp \left( -\frac{\min \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right)}{3} \cdot \frac{n}{6} \right) = \exp \left( -\frac{n}{72} \right)  $$

(3) Markov
Meinst Du hier die Ungleichung in der Form?
$$ P \left \{ X \ge \frac{n}{4} \right \} \le \frac{\mathbb{E}[X]}{\frac{n}{4}} $$
Wenn ja, folgt weil \( \mathbb{E}[X] = \frac{n}{6}\) gilt, \( \frac{\mathbb{E}[X]}{\frac{n}{4}} = \frac{2}{3} \)

Comments

ullim, ich weiß es ist schon etwas her. Aber weißt du noch wie du bei Chebyshev auf n/12 bzw. n/4 - n/6 kommst? würde nicht n/4 ausreichen?