Sind die angegebenen Werte obere Schranken der Folge? Wie löst man solche Aufgaben?

Question

Kennt sich da jemand aus? 

Prüfe, ob die angegebenen Werte obere Schranken für die jeweiligen Folgen sind! 

2; 5/4; an= (6n-2)/(4n+1)

Comments

 ich habe morgen Schularbeit und kenne mich mit der Beschränktheit der Folgen nicht so ganz aus.. Könnte mir das jemand bitte leicht erklären und schrittweise

Prüfe,  ob die angegebenen Werte obere Schranken für die jeweiligen Folgen sind! 

2; 5/4 ;an= (6n-2) /(4n+1)

Vielen Dank 

Answer 1

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$ berechnen und alle Werte die gleich oder grösser als der Grenzwert a sind, gelten als obere Schranke.

Andere Variante: einige Werte aufschreiben und dann mal schauen, ob du einen Grenzwert erkennen kannst.

Gruss 

Comments

Das stimmt nur für streng monoton wachsende Folgen. Grenzwert zu berechnen ist hier auch unnötig. Es reicht eine einfache Ungleichung zu lösen.

Answer 2

2; 5/4 ;an= (6n-2) /(4n+1)

Lim_(n->unendlich) (an) = 1.5 .

2 könnte somit eine obere Schranke sein. 1.25 sicher nicht.

Nun musst du noch testen, ob die Folge vorher mal höher wird.

Eine Möglichkeit / vermutlich nicht die schnellste: Wandle an in eine Funktion um
f(x) = (6x - 2)/(4x+1) und bestimme die Extremalstellen und Werte.    
Oder
 (6n-2)/(4n+1) < S 2n - 2 < S(4n + 1) 
6n - 2 < 4n*2 + 2 = 8n + 2   stimmt.
6n - 2 < 4n* 1.25 + 1.25 = 5n + 2 
n < 4            , stimmt nur für den Beginn der Folge, aber nicht allgemein.