Parameter t so bestimmen, dass die Wendetangenten senkrecht aufeinander stehen?

Question

Aufgabe:

K ist der Graph der Funktion f_t (x) = 0,5x⁴  - 3tx² + t²/2   

Für welche Werte von t stehen die wendetangenten von K senkrecht?

Problem/Ansatz:

habe folgende Frage:

Wenn man als Wendepunkt Wurzel t rausbekommt und die Bed. (m_{1 *} m₂ = -1) kennt,

wie muss man weiter rechnen?

Nachtrag zur Fragestellung aus Kommentar: die suchen eine zahl für t, damit die zwei wendetangen von der funktion senkrecht stehen. die lösung vom roland ist richtig. komme aber nicht auf den lösungsweg.

Comments

Sicher das der Fragetext so heißt ?
Für welche Werte von t stehen die
wendetangenten von K senkrecht?

Welche Steigung hätte dann die
Wendetangente ?

unendlich ? Eine Parallele zur y-Achse ?

Für mich ist die Frage nicht erklärbar.

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ja habe es so vom schulbuch abgeschrieben

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Wahrscheinlich ist damit gemeint, dass die Wendetangente senkrecht zum Graphen sein soll

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die suchen eine zahl für t, damit die zwei wendetangen von der funktion senkrecht stehen. die lösung vom roland ist richtig. komme aber nicht auf den lösungsweg.

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Sieht die Skizze so aus

Die beiden Wendetangenten schneiden sich unter einem
Winkel von 90 °

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ja genau. die bilden rechten winkel. wie kommt man aber auf das t?

Answer 1

Nullstellen der zweiten Ableitung in die erste Ableitung einsetzen. Das Produkt der Ergebnisse gleich -1 setzen und nach t auflösen. Zur Kontrolle t=³√4/4.

Comments

Hallo Roland, dein ergebnis stimmt. komm aber selber nicht drauf. irgendwo ist bei mir ein fehler drin...

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könntest vielleicht deinen lösungsweg bitte schreiben.

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f '(x)=2x³-6tx

f ''(x)=6x²-6t

Nullstellen der zweiten Ableitung

6(x2-t)=0; x=±√t

in die erste Ableitung einsetzen.

f '(√t)=2·√(t³)-6t·√t=-4√(t³);  f '(√(-t))=2·√(-t³)-6t·√-t=-4√(t³)

Das Produkt der Ergebnisse

-4√(t³)·4√(t³)=-16t³

gleich -1 setzen

-1=-16t³   oder 1/16=t³ oder 4/64=t³

und nach t auflösen. t=³√4/4.

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danke für den ausführlichen Lösungsweg.

hätte dazu noch eine frage: wieso verschwindet nach der -6 das t √t?

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f '(√t)=2·√(t³)-6t·√t=2·√(t³)-6√(t³)=-4√(t³)

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welches Wurzelgesetz ist es dann wenn aus t√t -> √t³  wird?

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Steht bei mir aber auch schon
t = √ t^2
t * √t -> √ t^2 * √ t -> √ ( t^2 * t ) -> √ t^3 

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für mich schaut es irgendwie nicht logisch aus. (ein Faktor vor der wurzel wird in die wurzel reinmultipliziert? wenn man angenommen zahlen dafür einsetzt dann kommen verschiedene Ergebnisse raus. hmmmmm

Z.b. 4√9 = 12    und √4*9  =  6

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Wenn man einen Faktor vor der Wurzel unter die Wurzel ziehen möchte, muss man ihn gleichzeitig quadrieren: t·√t=\( \sqrt{t^2t} \) =\( \sqrt{t^3} \) .

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Z.b. 4√9 = 12    und √4*9  =  6
habe ich nicht angeführt sondern
Z.b. 4√9 = 12  und √16 * √9  =  √144  =  12

Tip
Augen auf im Straßenverkehr

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vielen lieben dank.

Answer 2

1.Ableitung = Steigung bilden
2.Abieitung = Krümmung bilden
Wendepunkt : Krümmung = 0 ; ausrechnen xw = √ t

Steigung
f ´( x ) = 2.0*x^3 - 6*t*x
f ´( √ t ) = 2.0*(√ t)^3 - 6*t*(√ t)

Wenn der Schnittwinkel der Tangenten 90 ° ist
dann hat die linke Tangente die Steigung 1 und
die rechte Tangente die Steigung -1
( siehe Skizze )
2.0*(√ t)^3 - 6*t*(√ t) = -1
berechnet t = 0.3968
( entspricht dem Ergebnis von Roland )

Comments

danke georg aber wie hast du es ausgerechnet? welche gesetze greifen hier?

2.0*(√ t)3 - 6*t*(√ t) = -1
berechnet t = 0.3968

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Ich habe nichts handschriftlich berechnet sondern
mein Matheprogramm berechnen lassen.

Hier die Umformungen zu Fuß

2.0*(√ t)^3 - 6*t*(√ t) = -1
2.0*(√ t)^3 - 6* √t^2 *(√ t) = -1
2.0*(√ t)^3 - 6* (√ t)^3 = -1
-4 * (√ t)^3 = -1
(√ t)^3 = 1 / 4
t ^(3/2) = 1/4 | hoch 2/3
t = 0.3969
 

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danke dir georg :)

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Gern geschehen. Fülltext.

Answer 3

Aus Symmetriegründen (die Kurve K ist y-achsensymmetrisch) haben die beiden Wendetangenten den Steigungswinkel ± 45°. Ihre Steigungen sind ± 1.

Weil die Kurve nach oben geöffnet ist, kannst du die Steigung m = - 1 an der  rechten Wendestelle benutzen.

Wenn man als Wendestelle Wurzel t rausbekommt und die Bed. (m1 * m2 = -1) kennt,

wie muss man weiter rechnen?

Setze x = √(t) in die erste Ableitung ein und setze die erste Ableitung gleich "minus 1".

So solltest du das t auch bestimmen können, vorausgesetzt, dass du bisher richtig gerechnet hast.

Comments

danke dir lu