Induktionsbeweis zu Picard-Iterierten

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Picard-Iterierten zu ɣ₀(t) = 1 im Vektorfeld X : ℝ → ℝ, y ↦ y die Partialsummen der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion sind.

Ich muss also zeigen: ɣ_n(t) = 1 + t + (t²/2) + ... + (tⁿ/n!) = Summe von k=0 bis n über (t^k/(k!))

Das soll ich per vollständiger Induktion tun. Leider komme ich hier nicht voran – ich weiß nicht, wie ich hier (insbesondere im Induktionsschritt) vorgehen soll.

Kann mir jemand den Beweis skizzieren um mir auf die Sprünge zu helfen?

Ich freue mich auf Eure Antworten!

Answer 1

Behauptung: $${\gamma}_n(t)=\sum _{ k=0 }^{n  }{\frac { t^k }{k! }}$$
I.A: n=1
     $$ {\gamma}_1 (t)= 1+\int _{ 0 }^{ t }{X(1)ds  } =1+\int _{ 0 }^{ t }{1ds  } = 1+t =\sum_{k=0}^{1}{\frac{t^k}{k!}}$$

      Passt also für n=1!

I.V: Die Beh gelte für ein $$ n\in{\nu} $$ !

I.S:$$ n\rightarrow n+1$$

$${ \gamma  }_{ n+1 }(t)=1+\int _{ 0 }^{ t }{ X({ \gamma  }_{ n })ds }=1+\int _{ 0 }^{ t }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { s^{ k } }{ k! }  } ds }=1+\int _{ 0 }^{ t }{ 1+s+\frac { s² }{ 2 } +...+\frac { s^{n} }{ n! }}$$

Versuch mal damit weiter zumachen^^

Kann es sein, dass du auch in BI studierst und das für die Übung von Vertiefung Mathe: DGL brauchst?

Kommt mir nur so im Sinn weil ich die Aufgabe bis DO abgeben muss^^

Grüße N.L

Comments

Sry mein tex is nich das beste^^ bin da neu neuling drin

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Danke, das hilft mir sehr!

Ja, ich muss die Aufgabe für die selbe Vorlesung lösen. :-)

Dein Latex ist übrigens super. Ich wusste gar nicht, dass man das hier auch nutzen kann.

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| Danke, das hilft mir sehr!
Cool freut mich das ich helfen konnte^^

 |Dein Latex ist übrigens super.
Danke:)