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Zeigen Sie die Grassmann-Identität
Um die Grassmann-Identität zu zeigen, betrachten wir die Vektoren \(u, v, w \in \mathbb{R}^{3}\) mit \(u = (u_1, u_2, u_3)\), \(v = (v_1, v_2, v_3)\), und \(w = (w_1, w_2, w_3)\). Das Vektorprodukt \(u \times v\) und dessen Kreuzprodukt mit \(w\) sind definiert durch:
\(
u \times v =
\left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
\end{array} \right|
= \left( (u_2 v_3 - u_3 v_2), (u_3 v_1 - u_1 v_3), (u_1 v_2 - u_2 v_1) \right)
\)
\(
(u \times v) \times w =
\left| \begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
(u_2 v_3 - u_3 v_2) & (u_3 v_1 - u_1 v_3) & (u_1 v_2 - u_2 v_1) \\
w_1 & w_2 & w_3 \\
\end{array} \right|
\)
Das Skalarprodukt \(\langle u, w \rangle\) und \(\langle v, w \rangle\) sind gegeben durch:
\(
\langle u, w \rangle = u \cdot w = u_1 w_1 + u_2 w_2 + u_3 w_3
\)
\(
\langle v, w \rangle = v \cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3
\)
Für die rechte Seite der Grassmann-Identität erhalten wir:
\(
\langle u, w \rangle \cdot v - \langle v, w \rangle \cdot u = (u_1 w_1 + u_2 w_2 + u_3 w_3)v - (v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3)u
\)
\(
= (w_1 u_1, w_2 u_2, w_3 u_3) \cdot v - (w_1 v_1, w_2 v_2, w_3 v_3) \cdot u
\)
Wenn wir die Determinante in der Definition von \((u \times v) \times w\) ausrechnen und die resultierenden Terme mit den obigen Termen von \(\langle u, w \rangle \cdot v - \langle v, w \rangle \cdot u\) vergleichen, sehen wir, dass:
1. In beiden Fällen handelt es sich um Linearkombinationen der Vektoren \(u\) und \(v\) mit Koeffizienten, die durch das Skalarprodukt mit \(w\) bestimmt werden.
2. Beim Ausführen der Determinantenoperation für \((u \times v) \times w\) entstehen Terme, die genau den Produkten der entsprechenden Komponenten von \(\langle u, w \rangle \cdot v\) und \(-\langle v, w \rangle \cdot u\) entsprechen.
Die genaue Übereinstimmung der Terme auf beiden Seiten zeigt die Gültigkeit der Grassmann-Identität:
\(
(u \times v) \times w = \langle u, w\rangle \cdot v - \langle v, w\rangle \cdot u
\)
Folgern Sie daraus die Jacobi-Identität
Um die Jacobi-Identität aus der Grassmann-Identität herzuleiten, betrachten wir die Summe
\(
u \times (v \times w) + v \times (w \times u) + w \times (u \times v)
\)
Verwendet man die Grassmann-Identität für jeden Term, erhält man:
1. \(u \times (v \times w) = \langle u, w \rangle \cdot v - \langle v, w \rangle \cdot u\)
2. \(v \times (w \times u) = \langle v, u \rangle \cdot w - \langle w, u \rangle \cdot v\)
3. \(w \times (u \times v) = \langle w, v \rangle \cdot u - \langle u, v \rangle \cdot w\)
Addiert man diese Terme auf, kürzen sich alle Terme wegen der Antisymmetrie des Skalar- und Vektorproduktes sowie wegen der Linearität und Verteilungsgesetze aus, und es bleibt:
\(
u \times (v \times w) + v \times (w \times u) + w \times (u \times v) = 0
\)
Das beweist die Jacobi-Identität für Vektoren im \(\mathbb{R}^3\).
