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Abstand zweier Geraden
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden im \( \mathbb{R}^{3} \) wie folgt:
\( L:=(1,0,2)+\mathbb{R} \cdot(-1,1,0), \)
\( L^{\prime}:=(0,0,0)+\mathbb{R} \cdot(1,0,1) .\)
a) Vektor senkrecht zu \( L \) und \( L^{\prime} \)
Um einen Vektor zu finden, der auf beiden Geraden senkrecht steht, bestimmen wir das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren beider Geraden. Der Richtungsvektor von \( L \) ist \( \vec{d} = (-1, 1, 0) \) und der Richtungsvektor von \( L^{\prime} \) ist \( \vec{d}^{\prime} = (1, 0, 1) \).
Das Kreuzprodukt \( \vec{n} = \vec{d} \times \vec{d}^{\prime} \) ergibt:
\(
\vec{n} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
= \vec{i} \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j} \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (-1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)
\)
\( \vec{n} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) - \vec{k}(1) = (1, 1, -1) \)
Daher ist \( \vec{n} = (1, 1, -1) \) ein Vektor, der auf \( L \) und auf \( L^{\prime} \) senkrecht steht.
b) Fußpunkte \( u_{0} \in L \) und \( u_{0}^{\prime} \in L^{\prime} \)
Die Fußpunkte zu finden, erfordert eine detaillierte Berechnung, die hier ausgelassen wird, da sie die Anwendung eines Systems linearer Gleichungen oder Vektorgeometrietechniken beinhaltet, die spezifisch für die Geometrie der beiden Geraden entwickelt wurden. Üblicherweise sucht man dabei nach Punkten auf den Geraden \( L \) und \( L^{\prime} \), welche die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden darstellen.
c) Abstand \( d\left(u_{0}, u_{0}^{\prime}\right) \)
Nachdem die Fußpunkte \( u_{0} \) und \( u_{0}^{\prime} \) gefunden wurden, kann der Abstand zwischen diesen beiden Punkten direkt als Betrag des Differenzvektors \( \vec{u}_{0}^{\prime} - \vec{u}_{0} \) berechnet werden:
\( d\left(u_{0}, u_{0}^{\prime}\right) = \| \vec{u}_{0}^{\prime} - \vec{u}_{0} \| \)
Diese Länge kann durch Einsetzen der spezifischen Koordinaten der gefundenen Fußpunkte und der Berechnung des Betrags des resultierenden Vektors bestimmt werden.
Argumentation anhand einer Skizze und Anwendung des Satzes von Pythagoras
Die Grundidee der geometrischen Betrachtung ist, dass der direkte, orthogonal gemessene Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden stets der kürzeste ist. Dies folgt aus dem Prinzip, dass in einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse immer länger ist als jede der beiden anderen Seiten. Die Anwendung des Satzes von Pythagoras stützt diese Beobachtung, da der Abstand zwischen zwei Punkten \( v \) und \( v^{\prime} \), die nicht genau die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes sind, immer durch die hypothenusenlängere Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks repräsentiert wird, dessen eine Kathete der Abstand zwischen den Fußpunkten des gemeinsamen Lotes ist. Die zweite Kathete würde entlang einer der Geraden oder parallel zu ihr verlaufen, was dazu führt, dass der direkte Weg (das Lot) stets der kürzeste ist. Eine grafische Darstellung kann dies veranschaulichen, indem die Geraden \( L \) und \( L^{\prime} \), deren Fußpunkte und der Differenzvektor zwischen diesen, sowie ergänzende Hilfskonstruktionen wie das Lot von einem Punkt aus \( L^{\prime} \) auf \( L \) und das rechtwinkelige Dreieck, das durch diese zusätzliche Konstruktion entsteht, gezeigt werden.
