Windschiefe Geraden Abstand

Question

Aufgabe:

1. Gegeben sind die Geraden

g: x=a+r×ug und

h: x=b+s×uh

(a,b,ug,uh und x sind Vektoren)

Beschreibe ein Verfahren mit dem man:

a. prüfen kann ob die Gerade g und h windschief sind

b. den Abstand der beiden windschiefen Geraden g und h bestimmen kann

c. die Punkte Fg und Fh bestimmen kann, in denen die Geraden ihre geringste Entfernung zueinander haben

2. Wende das Verfahren auf folgende Geraden an:

g: x=(-7/2/-3)+r×(0/1/2) und

h: x=(-3/-3/3)+s×(1/2/1)

Bestimme den Abstand der beiden Geraden sowie die Punkte auf g und h, in denen die Geraden die geringste Entfernung haben

Answer 1

a. Geraden sind windschief wenn

• die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander sind, also die Gleichung

          \(\vec{u}_g = r\cdot\vec{u}_h\)
  

  keine Lösung hat, und

• die Geraden keinen Schnittpunkt haben, also die Gleichung

    \(\vec{a} + r\cdot \vec{u}_g = \vec{b}\cdot s\cdot\vec{u}_h\)

  keine Lösung hat.

b. Man bestimmt \(r\) und \(s\) so dass der Vektor

        \(\vec{v} = \left(\vec{a} + r\cdot \vec{u}_g\right) - \left(\vec{b}\cdot s\cdot\vec{u}_h\right)\)

senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Geraden ist. Abstand der Geraden ist \(\left|\vec{v}\right|\).

c. Man setzt die in b. bestimmten Werte in die jeweilige Parameterdarstellung der Geraden ein.

Answer 2

c)

Ein bisschen schneller und mit weniger Verständnis (wenn man es mit dem Computer macht) geht auch die Minimierung der euklidischen Distanz: