Bestimme jeweils alle reellen Lösungen der folgenden Ungleichung: | x2 - 8 | = 8

Question

Aufgabe:

Bestimme jeweils alle reellen Lösungen der folgenden Ungleichung: | x²  - 8  | >= 8

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so genau wie ich an die Lösung einer Ungleichung rangehen sollte.

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Betragsstriche irgendwie loswerden, das geht oft sehr schnell und einfach mittels Fallunterscheidungen:$$|x^2-8|\ge8\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8\ge8\;\lor\;x^2-8\le-8\quad\Longleftrightarrow\quad x^2\ge16\;\lor\;x^2\le0$$

Jetzt bist du eigentlich schon fertig. Die erste Ungleichung zerlegst du wieder in 2 Fälle, die zweite Ungleichung ist nur für \(x=0\) wahr:$$x\ge4\;\lor\;x\le-4\;\lor\;x=0$$

~plot~ abs(x^2-8) ; 8 ; {-4|8} ; {0|8}; {4|8} ; [[-5|5|0|9]] ~plot~

Answer 2

Grundsätzlich kannst du an Ungleichungen wie an Gleichungen herangehen, nur bei Multiplikation mit neg. Zahlen wird das <> umgedreht. Hier ist allerdings noch der Absolutbetrag zu berücksichtigen, du hast 2 Lösungsmöglichkeiten,

+(x²-8)>=8 ......x²>=16.....x>=+/- 4

und -(x²-8)>=8....-x²+8>=8 ..... -x²>=0 ......x²<=0

Answer 3

Weg über das Quadrieren:

| x^2  - 8  | ≥ 8    | ^2

\( (x^2  - 8)^{2} \)  ≥  64  

1.)  x^2  - 8 ≥  8

x^2 ≥16

x₁ ≥ 4

x₂ ≤ - 4

2.)  x^2   - 8 ≤  - 8   → x^2  ≤  0

x₃=0     kleiner 0 kann es nicht werden.